- 文献综述（或调研报告）：
目前精算研究人员对随机利率寿险问题进行了卓有成效的研究，已经研究了许多模型来描述精算学中利率的随机性，构建了许多具有较高参考价值的寿险模型。例如，引入一阶自回归模型来模拟利率并使用相似模型计算保险和年金函数，将利息力模拟为 ARIMA(p,d,q)过程并使用这个模型来分析现值函数，使用马尔可夫过程来模拟破产概率研究中的一系列利率等。以上文献丰富了随机利率模型在精算科学中的应用，但是在实际应用中这些模型仍然存在一些缺陷，他们假设一年内的利率是固定的，这并不总是与金融市场的实践一致，迫切需要运用精算技术改进模型以增强模型的实用性。
[1]介绍了单因素CKLS模型系。用表示瞬时无风险利率或者称为短期利率，短期利率除了服从一定的随机过程之外，还具有向一均衡水平靠拢的行为，即均值回复行为；同时还受本身以及多种宏观经济因素的影响，如跳跃因素、结构转换因素、门槛点因素、摩擦因素等非线性因素。
对短期利率动态行为特点的研究起推动作用的当属Chart，Karolyi，Longsmff和Sanders 4人提出的CKLS模型，现今几乎所有的与期限结构相关的实证研究都是基于CKLS模型或者与其相关的。该模型的具体形式可表示为：，这里，，，为常数，是一个维纳过程增量。
维纳过程描述如下：若一个随机过程满足：（1）是独立增量过程；（2）任意，即是期望为0，方差为的正态分布；（3） 关于是连续函数。则称是维纳过程(Wiener process)或布朗运动。
故其中，[]。瞬时期望漂移率为，瞬时方差率为。CKLS模型作为描述利率动态过程的模型，最大的优点就是考虑了利率的水平效应，即利率水平越大，其波动越剧烈。大多数的单因素模型都将其粘性系数 限定为一个固定的值，这样做的原因纯粹是使得模型的解是闭端的。然而，当用历史数据估计模型时，发现模型往往不能很好的解释利率的动态行为，因此将 视为一个参数是非常必要的。
如果对模型中的4个参数作适当的限制，就可得到现有文献中的几乎所有的单因素利率模型，几个重要的随机利率模型描述如下：
CIR VR(1980)：；
CIR SR(1985)：；
CKLS(1992)：；
CIR0(1996)：；
CKLS0(1996)：。
所有单因素模型在模型的构建上都遵照了BlackScholes模型的基本思想，只是漂移项和波动项赋予了不同的形式而已，但它们都可以看作是瞬时即期利率的线性函数，即单因素模型的状态变量总是被确定为瞬时即期利率，这也是影响利率行为的最重要的状态变量。根据对单因素模型研究，可以对目前所有的单因素模型进行一般化的推广，得到如下形式：，其中 为漂移项，为扩散项，该式表明瞬时利率的改变量包含了两部分：非随机的漂移项(均值期限)和随机的扩散项(方差期限)。A和B分别为漂移系数和扩散系数。是布朗运动的微分增量。严格意义上讲，随机微分并不存在，一般意义上，可将式 写成如下形式：。这里，是一个标准的维纳过程。单因素模型的主要特点在于目标变量(利率的变化)仅是一个状态变量(短期利率)的函数，并无其他因素的影响，而且这个状态变量在理论上是可观测的。
CKLS模型系的构建是建立在随机贴现因子以及状态变量的影响因子服从布朗运动的条件之上的，并没有考虑到其他的运动形式。布朗运动的样本路径是连续的，这意味着用布朗运动描述某一金融资产的价格过程是连续的，但从金融市场发展的历史来看，价格的连续性经常会被一些不可预测的随机事件所破坏而带来的因子的突然跳跃，这些事件包括金融危机、股市崩盘、政策、消息事件等，当然这些事件在通常情况下是稀有的，并且它在金融时间序列中的表现是非布朗运动。
为了在模型中充分反映这种非布朗运动的影响，更加准确地捕捉到实际金融数据的特点，通常把利率、汇率、股价等的变化分解为布朗运动和纯粹的随机跳跃过程的叠加。这里的纯粹跳跃过程是指一个连续时间的随机过程，其样本函数是阶梯函数，即样本函数仅在跳跃点发生变化，而两次跳跃之间维持不变，并假定连续过程与跳跃过程是相互独立的。
为了更好地捕捉精算科学中利率的随机性，随机扰动的方法被提出来。在这种方法中，时间的利息力表示为，其中是与时间无关的利息力，表示一个引起利息力扰动的随机过程。故累积利息力函数为
关于扰动方法有两种建模方法。第一种将视为随机过程，如Wiener过程、Ornstein-Uhlenbeck过程、泊松过程等，建立随机利率模型，并研究了这些模型下各种离散、连续时间生存年金的分布、平均值和标准差。在第二种方式中，首先将利息力的扰动描述为一个特殊的扰动过程，然后通过随机积分得出累积的利息力函数。
这两种建模方式都吸引了很多研究人员的关注。第一种方式为计算带来了便利，但利息力的行为不能被明确表达。在第二种方式中，因为相关的随机计算非常困难，特别是在带有随机跳跃的情况下，所以到目前为止仅考虑了一些特殊和简单的过程。然而，市场利率通常会不连续地随机跳跃。
[2]介绍了一类新的随机利率模型，其中的利息力直接用复合泊松过程表示，通过泊松过程累积的利息力可以更有效地表征市场利率的随机跳跃。泊松过程是一种记数过程，它仅取零和正整数，其含义是到某一时刻为止，发生稀有事件的次数，它是一个独立增量过程。另外，因为我们假定两次稀有事件的到来完全独立，且不可预测，故也是马尔可夫过程。复合泊松过程已广泛应用于金融和精算科学领域，尤其是在经典的破产概率模型中。其描述如下：， 其中是速率的泊松过程,在本文中将表明在时间间隔上市场利率的调整数量。是一个的随机变量序列，具有共同分布且和是独立的。假设是相邻利率调整之间的相互作用时间；那么他们是独立的，服从具有相同参数的指数分布。
在复合泊松过程下建立随机利率模型。假设利息力表达为：，其中，是第次利率调整的方向，为上升为下降。同时，独立同分布且与独立，过程是一个特殊的连续时间马尔可夫过程，生死过程。这个过程的初始状态是，相应的出生率和死亡率分别为 和。将公式代入可以得到累积利息力函数的相应表达式。
通过泊松过程累积的利息力可以更公正、更直接、更有效地表征市场利率的随机跳跃，但相关的随机计算非常困难，特别是在带有随机跳跃的情况下，因此使用另一种积分方法，用类似于Stietjes积分的想法改变积分方向，来解决累积利息力函数计算中的问题。
在服从扩散过程的假设下，利率的动态变化被认为是一种连续的密集的变化。然而在现实的金融市场中，这些变量的变化都存在着某种程度的不确定和非连续变化，因此有必要考虑跳跃效应对金融变量的影响。基于几何布朗运动的跳跃扩散模型被提出来，具体的模型如下：，其中，、是当无泊松消息事件发生时变量的漂移率和方差率；是产生跳跃的泊松过程；和是相互独立的；表示时刻随机跳跃的大小，它是一个随机变量，服从正态分布， 。
CKLS模型系是最具代表性的随机利率模型，泊松过程能够有效地表征利率的随机跳跃，因此可将CKLS模型和带泊松过程随机跳跃的CKLS模型应用于寿险产品定价问题，分别计算在这两种随机利率模型下的均衡净保费和责任准备金等，通过数值模拟分析随机利率模型中各参数对净保费和责任准备金的影响，并比较两种模型在寿险产品定价问题中的有效性和实用性。
参考文献：
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资料编号：[181080]
