积分非保守系统动力学方程的常数变易法开题报告

1. 研究目的与意义

1.1 分析力学的发展现状

分析力学最初是在经典力学处理约束力学系统问题时所遇到的难题。经典力学以位移、速度、加速度等矢量来描述力学规律，但是矢量力学对于多质点、多约束、非常见坐标系和运动参考系等其越来越复杂的问题，都遇到了许多困难。十八、十九世纪的力学家和数学家们基于这些困难从许多方面进行了大量的探索。在十八世纪，拉格朗日通过引进广义坐标，在牛顿力学的基础上建立起了“分析力学”，解决了多质点系统运动的问题，引进了拉格朗日函数并推导出拉格朗日方程组。在十九世纪，出现了哈密顿原理、函数及方程。二十世纪出现的birkhoff力学，kam定理，几何动力学等又将分析力学推向新的时代。我国分析力学的领头人是汪家訸^[1]，他为我国分析力学的教学和科研奠定了基础；1964年，牛青萍^[2]发表的论文具有国际领先水平，对我国非完整力学研究起了重要的带头作用；1985年，梅凤翔出版的名著^[3]总结了国内外非完整系统力学的新成果等。

对于约束系统动力学来说，因为力的多样性和约束的复杂性,给积分带来极大困难。对于积分理论主要有两个方面：一方面是要将完整保守系统的经典积分理论从某种程度上向非完整非保守系统推广，如梅凤翔教授用降阶法将whittaker方程^[4]向非完整力学系统进行了推广；hamilton-jacobi方法^[5];积分不变量^[6-8]。另一方面是要发展近代方法，如场方法及其推广^[9-10], noether理论的推广^[11],lie理论的应用^[12]等。随着研究的不断深入，分析力学在其完整系统中已近有了很大程度的进展，到对于约束系统动力学中的非完整、非保守方面还有欠缺，所以目前众多学者对这一方面纷纷投入了更多的精力。

2. 研究内容和预期目标

本课题主要的研究内容:进一步研究将常数变易法应用于求解非保守动力学方程,并结合相应的算例来说明结果的应用。

第一步，综述积分约束力学系统动力学方程的积分理论与积分方法的研究历史。

第二步，综述常数变易法在约束系统力学方程的应用，提出目前存在的一些问题。

3. 研究的方法与步骤

本课题的研究方法和步骤：首先，对已知的分析力学的知识先进行巩固，并学习常数变易法的相关知识来了解并且掌握方法的核心，以便在应用时能够快速且准确。其次，通过检索相关的文献资料，了解前人对常数变易法的研究程度以及还没研究的方向。找到相关的文献仔细阅读，将文献中提到的相关常数变易法方向的文献也进行浏览。然后，思考并初步提出要研究的方向，再去仔细检索自己提出的方向是否有人研究过没，以确保不要跟前人的研究撞上。明确方向后，查阅相关的文献资料和自己需要用到的知识，记录并认真研学。再将得到的资料进行整理，并初步写出开题报告，对外文文献进行翻译，然后写出初步的毕业论文。对其论文进行修改，并准备毕业答辩。

4. 参考文献

1.汪家訸.分析动力学.北京:高等教育出版社,1958

2.牛青萍.经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程[j].力学学报,1964(02):139-148.

3.梅凤翔.非完整系统力学基础[m].北京：北京工业学院出版社，1985

5. 计划与进度安排

（1）毕业实习：第1-3周（2月24日-3月15日）

（2）文献检索，提交开题报告：第4周（3月16日-3月22日）；

（3）论文研究，提交外文翻译初稿：第5-6周（3月23日-4月5日）；