保能量平均向量场方法在非线性动力学中的理论分析和应用开题报告

1. 研究目的与意义

非线性问题是当今世界最热门的课题之一，传统的数值计算方法一般对初值非常敏感，这是非线性问题的特征，因此一般的数值计算方法存在以下困难：数值解易产生振荡或发散，从而得不到真正的物理解；或者即使得到收敛解，有时也很难判断它与真正物理解的拟合程度。

1984年，冯康院士及其研究小组提出了保持hamilton系统辛结构的辛几何算法。在此基础上，bridges和reich等人将辛几何算法发展为多辛几何算法。辛和多辛几何算法比起传统的数值算法在稳定性和长时间计算能力上表现出了很好的优势。然而辛和多辛几何算法只能近似保持非线性hamilton系统能量守恒。近年来，为了精确保持hamilton系统能量守恒特性，quispel和mclachlan等人提出了保hamilton系统能量守恒的二阶平均向量场方法并广泛应用于能量守恒型偏微分方程。

人们对数值积分首次积分的研究已有一定的历史，通常这些数值方法的误差会随着时间的增长而增长，但对于一些特殊的微分方程其数值方法的误差可以得到控制，在那些可以保首次积分的数值中，列如runge-kuttaf方法自动保线性不变量而有些数值方法是强制保持的。在这一背景下，保hamilton系统能量的b级数方法应运而生，平均向量场方法就是一类特殊的b-级数方法，它可以保所有hamilton向量场，并且这种方法用起来非常方便，我们无需为这种方法是否保能量而烦恼也无需知道具体能量函数是什么，只需知道常微分方程的向量场f即可。

非线性振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式，既被广泛应用又可能带来危害。例如单摆的往返运动、弹簧振动、机床主轴的振动等。以单摆为研究对象来讨论有关自由振动和强迫振动问题。以此来更好应用及减小危害。

2. 研究内容和预期目标

主要研究内容：

1.学习保能量平均向量场方法在非线性动力学中的应用方程方法；2.熟悉方法的解题思想，再运用保能量平均向量场方法解决简单线性问题（如简单直线匀速运动）；3.用理论针对若干实际非线性问题（如duffing问题，单摆问题)展开研究。演算出计算方程式；4.数值计算：借助数值计算工具软件matlab，算出若干典型实际非线性的动力系统的数值解。再与理论解对照比较误差。

3. 研究的方法与步骤

方法：

1.建立模型：把拥有俩个自由度的单摆看作一个振动系统，建立非线性单摆问题的运动方程。并推出总能量e关于时间t的方程。

2.数值计算:通过保能量平均向量场方法求出解析解，并与已知结果比较，证明其有效性。对于不同初始条件情况，分别进行数值计算，得到相轨迹曲线并分析。

4. 参考文献

[1]秦孟兆，王雨顺.偏微分方程中的保结构算法.杭州:浙江科技出版社2012

[2]叶霄霄.基于平均向量场方法的暂态稳定计算2015：三峡大学硕士论文

[3]陈璐王雨顺.保结构算法的相位误差分析及其修正[j]；计算数学，2013,35（1）：271-290

5. 计划与进度安排

[1]2月22日～3月19日文献检索，提交开题报告

[2]3月20日～4月15日论文研究，提交外文翻译初稿

[3]4月16日～5月20日论文研究，提交论文初稿