浅谈微分中值定理中辅助函数的构造开题报告

1. 研究目的与意义

微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用.构造辅助函数是高等数学和数学分析证明中常采用的技巧．当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时,可根据题设条件和结论特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式去构造辅助函数。辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。 微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。通过查阅现有的大量资料发现,现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多,其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路,但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。通过构造辅助函数,可以解决数学分析中众多难题,尤其是在微积分学证明题中应用颇广,且可达到事半功倍的效果。

2. 研究内容和预期目标

本文主要对中值定理及证明方法进行介绍并研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用,而其中主要分三部分内容：一是介绍中值定理的证明过程；二是通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导,分析其中辅助函数的如何构造的思想;三是讨论有关中值证明中辅助函数构造的方法,归纳罗列出几种常见的方法、给出相应例题、体味构造法的思想，从而方便的解决有关中值命题的证明。

本文的预期目标是通过本文的研究,能让在我们的《数学分析》的微积分证明中证明某个问题的结论时,经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论,而这时可以尝试运用辅助函数构造法,根据命题中的条件,将结论变换,从而构造出一个辅助函数,再运用有关的定理结论推导出命题的结论。

3. 研究的方法与步骤

本文研究采用的方法主要是通过搜集一些期刊、网页、书籍中有关研究对象辅助函数构造的资料,包括它的历史背景、性质及应、研究的现状及发展方向等内容。然后对资料进行整理,提取有用信息,形成论文的大体构思,其中补充自己的观点,使全文有较好的协接。

本文先从罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导切入,在理解其辅助函数的构造思想的基础上来探讨辅助函数构造的方法;接下来转入有关中值命题证明中辅助函数构造的方法,归纳罗列初直接观察、移项法，凑导数法，不定积分法，常数值法四种常用的辅助函数构造法；然后先对每种方法进行介绍,做出该方法的应用举例,由此体现构造法的优越之处；最后,给出具体的题目,运用所列的构造法,体会构造法的思想。

4. 参考文献

[1]陈传章金福林：《数学分析》（上，下）北京：高等教育出版社,1986.

[2]张自兰崔福荫：《高等数学证题方法》陕西：陕西科学出版社,1985.

5. 计划与进度安排

1、2022年3月5日，指导老师下达毕业论文任务书，根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；

2、3月8日~ 3月19日，完成开题报告，开题报告按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；