1. 研究目的与意义
现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。从微积分理论形成以来，人们一直用微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，不断的取得了显著的成效。遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。如数值天气预报、航天、和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的非线性、粘性和激波等复杂自然现象，使其求解极为困难；很多情况下，也根本没有办法得到方程理论上的精确解。因此今天掌握和应用微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法是很有必要的。
2. 国内外研究现状分析
目前常用的数值方法有有限差分法和有限元法以及有限体积方法。对于三类基本的偏微分方程椭圆型、抛物型和双曲型方程，椭圆型方程数值解的研究是基础。对于Poisson方程人们研究得已经很多了，而对于加了反应项后的反应扩散方程的研究一直是研究数值分析的人们热衷的问题，特别是Helmholtz方程。基于此，我们对这个问题先来做一个总结，然后试图有所创新。
3. 研究的基本内容与计划
内容：1、对反应项前函数为正值的一维和二维的反应扩散方程给出其数值方法；
2、对一维和二维的抛物方程给出其数值方法；
3、考虑数值求解helmholtz方程；
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4. 研究创新点
自从数字电子计算机问世以来，微分方程数值解法得到好大的发展，在数值分析中占有极其重要的地位，但并不是面面俱到，包罗万象，要通过一些典型的、通用的数值方法，去阐明构造方法的基本思想和技巧，达到举一反三的效果。 |
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