界面问题的数值方法开题报告

1. 研究目的与意义

当今科学及工程中的大量物理模型都可以用微分方程来描述，其数值解法在数值分析中占有重要的地位。

在科学的计算机化进程中，科学与工程计算作为一门工具性、方法性、边缘交叉性的新学科开始了自己的新发展，近三十年来在力学、物理学、天文学等科研以及电子、电机、机械、动力、航空、航天、土木、地质勘探、油田开发等工业领域得到广泛的使用，取得显著的成效。

可惜的是，大多数微分方程定解问题的解不能以实用的解析式来表示，如数值天气预报、航天和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的非线性、粘性和激波等复杂的自然现象，使微分方程求解极为困难。

2. 国内外研究现状分析

目前常用的数值方法有有限差分法和有限元法以及有限体积方法。

对于三类基本的偏微分方程椭圆型、抛物型和双曲型方程，椭圆型方程数值解的研究是基础。

而关于多孔介质流及复合材料中普遍存在的带间断系数的界面问题的研究，自从二十世纪六十年代就开始受到人们的广泛关注并提出了一系列的方法，如有限差分方法、有限元方法、基于后验误差估计的自适应有限元方法、间断有限元方法、mortar有限元方法以及有限体积方法等。

3. 研究的基本内容与计划

首先，对常系数的一维椭圆型方程给出中心差分格式的理论分析，对二维椭圆型方程给出五点差分格式的理论分析，并进行先验误差分析、稳定性及收敛性分析；其次，利用积分插值法求解变系数的椭圆型方程，论文重点是对一维与二维常系数及变系数椭圆型方程差分格式的研究；最后，用IIM方法求解带间断系数的椭圆型方程，并做一些积极的探索；并将通过MATLAB编程具体实现。

4. 研究创新点

对变系数的椭圆型微分方程的差分格式进行了比较详尽的研究，对带间断系数的椭圆型方程也进行了求解和积极的探索，并给出例子进行了分析及MATLAB实现，验证了误差。