非自共轭椭圆型方程的数值方法开题报告

1. 研究目的与意义

椭圆型方程是一类基本的数学方程，它可以用来对椭圆问题数值计算方法的研究具有重要的理论和实际意义，可用于环境科学、能源开发、力学和电子科学等许多领域。现代科学、技术、工程的大量数学模型都可以用微分方程来描述，很多近代自然科学的基本方程本身就是微分方程。遗憾的是，绝大多数微分方程定解的解不能以实用的解析式来表示。如数值天气预报、航天、和水利等诸多流体力学问题中的微分方程，由于流体力学的非线性、粘性和激波等复杂自然现象，使其求解极为困难；很多情况下，也根本没有办法得到方程理论上的精确解。因此今天掌握和应用微分方程数值解的相关理论和相应的数值方法是很有必要的。

目前常用的数值方法有有限差分法和有限元法以及有限体积方法。对于三类基本的偏微分方程椭圆型、抛物型和双曲型方程，椭圆型方程数值解的研究是基础。我们知道自共轭的椭圆问题的数值方法已经研究得很多了，而对于非自共轭的椭圆问题，特别是对流扩散问题，人们还在努力寻求更好的方法。

2. 国内外研究现状分析

椭圆型方程在科学应用方面用处广泛，其数值求解一直是数学工作者的研究热点问题。

3. 研究的基本内容与计划

首先，就椭圆型方程的一维自共轭与二维自共轭，椭圆的自共轭与非自共轭做了数值方面的比较与研究，并编制了matlab程序。

具体是对椭圆型方程的一维与二维方程的收敛性，稳定性条件及数值解精度作比较与研究。

然后，就自共轭型方程与非自共轭型方程进行分析并编制了matlab程序，在一定条件下，当步长趋于零时，数值解收敛于精确解。

4. 研究创新点

首先，针对自共轭的椭圆问题，给出其一维及二维问题的数值离散方法；其次，针对非自共轭的椭圆问题，给出其一维及二维问题的数值离散方法；最后，考虑对流项占优时的数值结果；并编程实现。