正定矩阵的性质研究开题报告

1. 研究目的与意义

正定矩阵是一类特殊的矩阵，有着特殊的性质，在二次型和欧式空间等方面有着较为广泛的应用，研究它的性质对拓展欧式空间有着重要的意义。

还有从正定矩阵的定义中可以知道，任一正定矩阵都唯一决定有相应的一个二次型，并且这个二次型是正定的。

因此充分认识和了解正定矩阵的基本性质，全面掌握实正定矩阵的判断是非常有益的。

2. 国内外研究现状分析

国外：1970 年 Johnson C. R 在Positive definite matrices，Amer Math Monthly中引入了实正定矩阵的概念；1973 年 Johnson H. R在其博士论文中研究了方阵 A 的对称化 是正定矩阵时的性质和不等式；1985 年 Horn,R.A. 和 Johnson,C.R.也在他们的名著 Matrix Analysis 一书中提出了实正定矩阵的定义。但未对这类广义正定矩阵作进一步的深入论证与研究。

国内：1984年,佟文延把正定矩阵进行了推广；1985年，李炯生在文献实方阵的正定性（《数学的实践与认识》）中对这类广义正定矩阵的性质和特征作了较深入的研究；1988年，夏长富把这种正定矩阵进行了进一步的推广；2005年，杨仕椿，吴文权又进一步推广了广义正定矩阵。

3. 研究的基本内容与计划

研究内容、方法：

1、熟练掌握正定矩阵的主要性质及相关引理定理。

2、对广义正定矩阵性质及充分和必要条件等进行研究。

4. 研究创新点

矩阵的正定性源于二次型与hermite型的研究,最初只限于在实对称矩阵或hermite矩阵中讨论。

所以此论文还建立了hermite正定矩阵和实对称正定矩阵的其它一些重要性质，尤其较全面地总结和建立了它们的若干充分和必要条件并能运用正定矩阵的一些基本性质得出正定矩阵的新性质。

一般n阶矩阵正定性的研究已在很多领域得到了重要的应用,因而对于广义正定矩阵性质以及它们的若干充分和必要条件研究也很有必要。