Gronwall不等式及其在微分方程中的应用开题报告

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1. 研究目的与意义

由于Gronwall不等式在微分方程解的唯一性、稳定性、周期性、双曲不变流形和伪双曲不变流形等方面有重要的应用，其改进和推广一直是研究的热点。也有许多书介绍了这方面的大量工作。近年来，由于差分方程在数值分析和工程领域的广泛应用，差分方程类型的多样化需要多样化的离散不等式。特别是，离散的Gronwall不等式在严重微分方程与积分方程数值解的收敛性方面有着十分重要的作用。此外，对于常微分方程Cauchy初值问题的研究和微分方程奇解的验证也有着重要的应用价值。

2. 国内外研究现状分析

在数学中，gronwall引理或gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。gronwall不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。积分形式下的不等式可以有几种不同的写法。

gronwall不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。比如，它可以用来证明初值问题的解的唯一性（见柯西-利普希茨定理）。

gronwall不等式的名称来自多玛哈肯格朗沃尔。格朗沃尔是一位瑞典的数学家，后来移居美国。

3. 研究的基本内容与计划

经典Gronwall不等式本质上是一个积分不等式,其在常微分方程解的唯一性,解的有界性以及解得整体存在性等方面有广泛应用.本课题主要研究Gronwall不等式的几种推广形式,并其在常微分方程和偏微分方程上的应用.通过对本课题的研究,了解Gronwall不等式的几种变形,利用不等式作为工具研究微分方程解的性质.

4. 研究创新点

主要从以下几个方面开展研究：

① Gronwall不等式的不同推广形式；② 各种形式的Gronwall不等式在微分方程中的具体应用。