1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）
随机矩阵理论是矩阵理论与随机过程理论的交集，其研究对象多是类型和维数都已确定的矩阵，矩阵中的每个元素均是具有某种统计上特性的随机过程或是随机变量。早在1928年，j.wishart就已经在固定维数的高斯矩阵上做了很多研究工作。在随机矩阵理论发展的初期阶段，人们主要致力于解决在科学实验中遇到的实际问题，在这一阶段也产生了一些里程碑式的结果。经过了近一个世纪以来的发展和研究，现如今的随机矩阵理论已经被广泛应用于科学实践，应用研究等多个领域范畴，诸如混沌理论、信息论、信息处理、神经网络、统计物理、随机差分方程等。随着近10年来无线通信技术的大力发展，随机矩阵理论取得了飞跃式的发展。
积和式于1812年由binet和cauchy分别提出，是定义在方阵上的一类特殊函数。在数学，特别是线性代数中，积和式是一个与行列式类似的多项式。积和式在概率论、组合数学、分子化学、无线通信、统计物理及计算机科学，特别是图论和计算复杂性理论中有重要的地位，比如一个二分图的完美匹配数目可以表示为对应积和式的值。valiant于1979年证明了积和式计算是np完全问题，由于积和式的计算十分困难，所以它的应用受到了一定的限制。到目前为止，关于积和式的通用精确算法是基于容斥原理的ryser算法，但该算法只对低阶矩阵有效。对于高阶矩阵，近似算法仍缺乏实用性；若矩阵具有特殊的结构特征，则可以根据其结构特征构造出相应的算法以提高计算效率。
在积和式概念被提出的近一个世纪中，共发表了二十多篇相关的论文。这些文章中的大多数都关注于涉及积和式与行列式的恒等式，其中，比较有趣和著名的有borchardt等式、caylay等式、muir等式。尽管其中有些等式并不容易证明，但该时期的研究结果大多仍然是直观和基础的。积和式发展过程中的一次转折是二十世纪初期muirhead定理的提出，以及同时期的三个著名时间，即polya问题，schur引进的广义矩阵函数的概念，van der waerden猜想。其中，关于van der waerden猜想的证明直到近些年才得到完全解决。
2. 研究的基本内容和问题
本研究的目标：
本课题的目的在于通过学习线性代数中矩阵以及积和式的基础知识，结合次双随机矩阵的研究背景，探讨次双随机矩阵的积和式、行列式以及其他矩阵函数所具有的凸性性质。具体来说就是通过类比假设，找出各个广义矩阵函数的一些规律性特征，根据这些规律特征分析凸性不等式成立的原因，并尝试将该结果推广到更一般的条件上。
本研究的内容主要有以下三点：
3. 研究的方法与方案
研究方法、技术路线、实验方案及可行性分析
研究方法：
（1）文献查阅法：利用南京农业大学图书馆馆藏资料以及购买的中国知网、维普等的电子文献资源，查找、检索与随机矩阵及矩阵的积和式等相关的博硕士论文、期刊论文、会议论文以及文字资料，仔细研读以期找出一些有益的研究线索、方法与思路。
4. 研究创新点
本研究较为新颖的尝试从次双随机矩阵积和式的凸性入手，基于在双随机矩阵中已有的结果，将其积和式的凸性不等式推广到次双随机矩阵的背景中，通过分析各个凸性不等式的证明过程，并加以推广和改进，加入一些限制条件，以期在除积和式以外的广义矩阵函数中也能得到对应的凸性性质。
5. 研究计划与进展
本研究的具体计划，主要分为三个阶段：
第一阶段：查阅与次双随机矩阵有关的文献资料，并初步作出猜想，列出可能需要的条件；
第二阶段：给出次双随机矩阵满足凸性不等式所需的条件，并开始着手查阅与其他广义矩阵函数（如行列式）有关不等式的文献；
