一类带Dirichlet边界条件的二维指数增长非线性椭圆方程无穷多个解的构造开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

考虑dirichlet边值问题，ambrosettiprodi问题（简称a-p问题），在1973年，ambrosetti 和prodi最早研究a-p问题，并给出了该问题无解，一个解和两个解存在性的条件。lazer和mckenna证明该问题存在三个解。hofer和solimini证明问题的第四个解。随后得到lazer和mckenna猜想。

参考文献：

[1] 谷超豪，李大潜，《数学物理方程》高等教育出版社

[2] m. del pino, m. kowalczyk, m. musso, singular limits in liouville-type equations, calc. var. 24 (2005) 4781

2. 研究的基本内容和问题

目标：对一类带Dirichlet边界条件的二维指数增长非线性椭圆方程，本项目试着给出无穷多个解的构造。揭示出当指数非线性前的系数非一直趋于0时，问题的解会在某些特定点附近出现多重爆泡现象。

关键问题：本课题是利用构造性的办法，来获取一类带Dirichlet边界条件的二维指数增长非线性椭圆方程的无穷多解的存在性。技术上需要解决两个关键问题：（1）如何构造合理的逼近解，使得方程两边误差充分小？（2）如何对方程所对应的泛函在逼近解处作渐近展开？

3. 研究的方法与方案

研究方法：lyapunov-schmidit有穷维约化方法

技术路线：逼近解的构造，线性化问题，辅助非线性问题，变分约化，泛函渐进展开，主要结果

试验方案：细致计算，理论验证

4. 研究创新点

选题具有可行性，方法体现科学性，技术需要突破

5. 研究计划与进展

2015.9-2015.12 因为要参加研究生考试,所以读懂文献及一些相关材料。

2015.12-2016.5 提交相关的书面报告，撰写论文，完成毕业论文答辩。