1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）
课题的意义：在二阶振荡微分方程的求解过程中，线性多步法在大多数情况下比单步方法更有效，得益于利用了从先前若干步所获得的函数及其导数，只要增加一次函数求值的成本就能得到新的离散点上函数的导数值。
因此二阶振荡微分方程的线性多步法具有更高的效率和更低的计算成本，值得深入研究。
国内外研究进展：近二十年来，国内外很多专家学者对于二阶振荡微分方程的有效数值解法已经做过非常多的研究，许多作者提出了近似效果比较好的数值方法.quinlan和tremain[1]构造了多种具有常数系数的线性多步法，用于积分轨道问题. raptis和allison在[2]中提出了一个4步4阶的指数拟合方法，raptis在[3]中构造了一个4步6阶指数拟合方法. 最近，simos在[4]中构造了一个p稳定的四步指数拟合方法，在[5]中构造了一个四步的指数拟合方法，kalogiratou和simoshave在[6]中构造了一个两步p稳定的指数拟合方法. simos还提出了一个4步p稳定的方法. [7]中具有最小相延迟的方法. van de vyver在[8-10] 中开发了一些优化的numerov型方法. 在[11]中，vanden berghe和van daele基于numerov的经典方法开发了指数拟合方法. 在[12]中， simos构建了两阶段三角拟合对称线性多步方法. 在[13]中，simos为耦合的微分方程的数值解开发了一种指数拟合的方法. 在[14]中，simos和williams开发了一系列numerov型指数拟合方法，其指数阶为从1到5. 在[15]中，konguetsof和simos开发了一个三角拟合对称线性多步法. 在[16]中，simos和vigo-aguiar建立了一个指数拟合对称线性多步法. 在[17]中，simos开发了另一种三角拟合对称线性多步法. 在[18]中，tsitouras和simos开发了一种显式高阶方法. 这些都对schrdinger方程数值解法的不断发展起了很大的推动作用． 应用前景：在二阶振荡微分方程的数值求解过程中，单步方法已经不能满足日益增长的求解需要，而线性多步法展现了相当高的效率和相当低的计算成本，对于我们求解一些复杂的二阶振荡微分方程有着很好的作用，因此，我们要对线性多步法进行研究，有助于我们更高效地解决问题。
2. 研究的基本内容和问题
旨在对二阶振荡微分方程的线性多步法进行深入的了解，在前人的基础上展开探究，熟练掌握并灵活运用线性多步法，并用于计算量子力学和系统生物学中的两个典型问题，输出计算结果。
研究将主要分为如下两个部分：首先简要介绍二阶振荡微分方程数值解的基础知识，概述国内外专家学者对于二阶振荡微分方程的研究现状。
其次，我们将构造一类系数依赖于振荡频率的对称四步方法，应用阶条件和优化相延迟条件，导出方法的系数。
3. 研究的方法与方案
1．数值方法设计基本的线性多步法 ——对称线性多步法 —— 指数拟合/三角拟合型线性多步法。
构造一个新的指数拟合对称四步方法。
2．数值方法分析阶条件 —— 相延迟和耗散阶 —— 相性质优化 3. 数值实验schrdinger方程、基因振子微分方程的求解。
4. 研究创新点
线性多步法在每个离散点上使用之前多个点上的近似值信息，增加方法的代数阶和数值稳定性。
对称性方法继承了自治微分方程解的时间可逆转性；指数拟合方法能够充分保持精确解的振荡性质。
与传统的线性多步法相比，所构造的新方法具有更高的效率和更低的计算成本。
5. 研究计划与进展
预计三月上旬完成对于线性多步法的理解和深入研究工作； 三月中下旬完成对于程序的编辑和得出计算结果并与传统方法做出比较； 四月完成实验方法的优化及论文的撰写工作。
