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文 献 综 述 1 Harnack不等式（Harnackrsquo;s inequality）概述 1.1 Harnack不等式的定义[1] Harnack不等式是调和函数（harmonic function）的重要性质，是指非负调和函数在圆周上的值与其在圆心的值之比的双向不等式。 若函数在内调和并且非负，则有 ， 其中，这个不等式称为Harnack不等式。 特别地，如果在以原点为中心，为半径的球中是一个非负调和函数，那么Harnack不等式有如下形式： 。 1.2 Harnack定理（Harnackrsquo;s theorem） Harnack不等式引出了一个强大而简单的定理，称为Harnack定理，他是关于单调递增调和函数序列的收敛定理。 若函数序列中的每一个函数都是区域内的非调和函数，且在收敛，则在内闭一致收敛。 1.3 Harnack不等式的证明 傅秋桃[2]在2015年利用格林公式和平均值定理给出圆内和区域内非负调和函数的Harnack不等式，进一步证明更一般的哈纳克不等式。 陈茂海[3]在2002年也给出了一种Harnack不等式的一种证法，并且讨论了它在调和函数中的应用。 |
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1.4 Harnack不等式的应用 1.4.1 在调和函数中的应用 在偏微方程的研究中所要用到的最有用而且最为人们所熟知的工具之一就是最大值原理，最大值原理能够用椭圆型方程的解在边界上的极值来估计它在区域全部内点上的值。研究发现，若是区域中的正调和函数, 则在的有界闭子集上任何两点处的比值可用某个只依赖于集合 和的常数来估计，这些估计必须运用Harnack不等式，研究表明Harnack不等式在调和函数理论的发展中起到了极为重要的作用。 陈茂海[3]在2002年将Harnack不等式和收敛性定理一同应用于有上界或有下界的调和函数上去。若以为下界，则调和函数非负，对于，Harnack不等式有效。类似地，若以为上界，则函数调和且非负。并且在证明最后得到了另外一种形式的Harnack不等式。 1.4.2 关于一些几何流的Harnack不等式 随着微分方程理论的成熟，几何分析在近20年里得到了充分的发展，成为当前几何研究中的一个重要方向。在这方面最为重要的两个例子是：Huisken与Ilmanen用逆平均曲率流解决了黎曼Penrose不等式[4]和曹怀东与朱熹平用Ricci流工具证明了庞卡莱猜想[5]。 在方守文[6]2009年的文章中，第一章研究了局部共形平坦流形上的Yamabe流的局部Harnack不等式及其推论——Yamabe流的Nonconic估计；第二章给出了欧式空间中完备超曲面上的依赖平均曲率的曲率流的Harnack不等式,利用这个不等式得到了一些推论,包括它的积分Harnack不等式,并给出了该曲率流的解分别为平移孤子和扩张孤子的充分条件。从而将[7,8,9]的工作进行了推广；第三章讨论了Kahler流形上具有位能的热方程的Harnack不等式及其应用。 1.4.3 在几何分析中的应用 几何流的Harnack不等式也称为Li-Yau-Hamilton不等式，在几何分析中起了很重要的作用。抛物方程的Harnack不等式起源于Moser[10]在1964年的工作，他研究了线性散度型方程的情形。1986年在中李伟光和丘成桐[11]用最大值原理得到流形上热方程的Harnack不等式，这是第一次将微分方程的Harnack不等式 |
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和几何进行结合起来。随后，Hamilton用同样的技巧得到了流形上一些非线性方程的Harnack不等式[7,12,13]。Chow分别于1991和1992年计算了欧式空间中超曲面上的高斯曲率流和局部共形平坦流形上的Yamabe流的Harnack不等式[14,15]。另外，曹怀东在1992年得到紧致Kahler流形上的Kahler-Ricci流的Harnack不等式[16]。Andrews用高斯映射的逆映射法得到一类欧式空间中超曲面上几何流的Harnack不等式[17]。 2 无套利分析原理概述 2.1 套利 菲利普·H·戴布维格(Philip H. Dybvig)和斯蒂芬·A·罗斯(Stephen A. Ross)给出了一个关于套利的学术性的权威定义：套利是这样一个投资策略，即保证在某些偶然情况下获取正报仇报酬而没有负报酬的可能性，也不需要有净投资。从数学的角度看，它包含了这样的意思：并且，其中是指投资组合在时点的价值，表示的是括号中时间出现的概率。这样套利就可以被理解为在没有可能出现损失和没有承担任何风险的情况下，获得报酬的可能性。有时套利也被描述成不需要任何投入就获得收益的机会。2.2 无套利和无套利原理[18] 在金融市场中，套利与均衡是矛盾的。例如，当国债的年收益率为2%、银行一年期存款利率为1%时，意味着存在套利的机会。在完全市场的条件下，套利活动必然会降低国债收益率，提高银行借款收益率，直到两者的收益率相等为止。当两者的收益率相等时，套利机会消失，市场达到了均衡状态。在均衡状态下，金融资产的价格等于其价值，这是套利活动的必然结果。 无套利原理是指具有相同价值的金融产品在同一个竞争的市场应当具有相同的价格。无套利原理假设金融市场不存在套利机会。套利可以在零净投资之下，获得非负的报酬。从理论上讲，由于实现这种策略的规模可以是任意的，因此只要存在套利机会，就意味着存在一个可以不断获得财富的来源。所以无套利原理的存在是金融市场均衡的必然结果。 2.3 无套利原理的应用 |
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2.3.1 人民币利率互换定价 孙伟和田芳[19]基于两种代表性的无套利模型——Black-Derman-Toy(BDT)和Hull-White模型，构建考虑单向违约风险的人民币利率互换定价模型。运用这两种模型对1年期3MSHIBOR-IRS进行定价，对两种定价模型的定价结果进行敏感性分析。并得出两种模型表现出定价偏离的一致性，基于BDT模型的定价比基于Hull-White模型的定价结果与报价的差距更小。 2.3.2 无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性 期权定价有无套利方法和一般均衡方法两种，陈莹和谭伟强[20]在一般均衡框架下构造了一个允许连续消费的简单经济模型，并基于无套利方法的期权定价模型中所假定的标的证券的价格变化动态过程内生化于理性预期均衡中。在常数相对风险厌恶(CRRA)的效用函数的条件下，他们推导出Merton(1973)期权定价公式，从而证明无套利方法与均衡方法的内在一致性，而CRRA这种类型的效用函数是无套利定价模型在一般均衡框架中成立的充分条件。他们进一步将此模型在一个简单经济中扩展到种证券的情况，也得到相似的结论。 2.3.3 摩擦市场的利率期限结构 李仲飞、汪寿阳、邓小铁[21]三人运用无套利方法分析有摩擦金融市场中利率的期限结构，对存在有限个债券和离散有限个到日期以及存在成比例的交易费、买卖差价、腹水这三种摩擦的金融市场，引入了相容期限结构的概念，给出了相容期限结构和套利机会的存在性结果或充要条件及他们的识别与计算方法。 |
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参考文献 [1] 《数学辞海》编辑委员会. 数学辞海[M]. 北京,南京,太原. 中国科学技术出版社, 东南大学出版社, 山西教育出版社, 2002: 53 [2] 傅秋桃. 哈纳克不等式的证明[J]. 郧阳师范高等专科学校学报, 2015, 35(6): 10-11 [3] 陈茂海. Harnack不等式及其应用[J]. 琼州大学学报, 2002, 9(2): 1-4 [4] G. Huisken, Contracting convex hypersurfaces in Riemannian manifolds by their mean curvature, Invent. Math., 84(1986), 463-480. [5] H. D. Cao and X. P. Zhu, A complete proof of the poincareacute; and Geometrization conjectures--Application of the Hamilton-Perelman theory of the Ricci flow, Asian J. Math., 10 No.2 (2006), 165-492. [6] 方守文. 关于一些几何流的Harnack不等式的研究[D]. 杭州. 浙江大学. 2009. 1 [7] R. Hamilton, The Harnack estimate for the mean curvature flow, J. Diff. Geom., 41(1995), 215-226. [8] K. Smoczyk, Harnack inequalities for curvature flows depending on mean curvature, New York J. Math., 3(1997), 103-118. [9] J. Wang, Harnack estimate for -flow, Science in China Series A: Mathematics, 50 No.11 (2007), 1642-1650. [10] X. D. Cao, Differential Harnack estimates for backward heat equations with potentials under the Ricci flow, J. Funct. Anal. 255 No.4 (2008), 1024-1038. [11] P. Li. and S. T. Yau, On the parabolic kernel of the Schrouml;dinger operator, Acta. Math., 156 (1986). 153-201. [12] R. Hamilton, A matrix Harnack estimate for the heat equation, Comm. Anal. Geom., 1 (1993), 113-126. [13] R. Hamilton, The Harnack estimate for the Ricci flow, J. Diff. Geom., 37 (1993), 225-243. |
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[14] B. Chow, On Harnackrsquo;s inequality and entropy for the Gaussian curvature flow, Comm. Pure Appl. Math., 44 (1991), 469-483. [15] B. Chow. The Yamabe flow on locally conformally flat manifolds with positive Ricci curvature, Comm. Pure Appl. Math., 45 (1992), 1003-1014. [16] H. D. Cao, On Harnackrsquo;s inequalities for the Kauml;hler-Ricci flow, Invent. Math., 109 No.2 (1992), 247-263. [17] B. Andrews, Harnack inequalities for evolving hypersurfaces, Math. Z., 217 (1994), 179-197. [18] 魏锋. 套利、无套利原理和公司理财学[D]. 北京. 首都经济贸易大学. 2005. 1-2. [19] 孙伟,田芳. 基于无套利模型的人民币利率互换定价[J]. 运筹与管理. 2015. 24(5): 228-236. [20] 陈莹,谭伟强. 无套利期权定价模型在一般均衡框架下的一致性研究[J]. 经济数学. 2007. 24(3): 260-268. [21] 李仲飞,汪寿阳,邓小铁. 摩擦市场的利率期限结构的无套利分析[J]. 系统科学与数学. 2002. 22(3): 285-295. |
