位相型分布及其在可靠性分析中的应用文献综述

文献综述（或调研报告）：

位相型分布是基于吸收态的马尔科夫链定义的，是系统进入吸收态所经历时间的分布，其在随机建模中有着极为重要的地位。

寻求能够保持指数分布易于进行解析处理的优点，又可以适宜于更多复杂情况的新分布类的努力，最早可以追溯到Erlang（1909）的早期工作。他从指数分布出发，构造了位相型Erlang分布。Jensen（1953）首先把PH分布用于一类经济模型，但他只是将其作为符合模型结构的一个随机分布来使用，并没有给出有力的处理办法。使PH分布被真正引入可靠性领域的是Marcel F. Neuts（1975）[1]发展的矩阵分析处理技巧。Neuts（1978）[2]讨论了PH分布的更新过程。Neuts（1981）[3]详细讨论了PH分布的性质及其在排队论中的应用。Assaf和Levikson（1982）[4]探讨了可靠性理论中操作下PH分布的封闭性，证明了所有的PH分布类在有限混合、有限卷积、独立部件组合的相干系统下都是闭的，且所有PH分布都有上三角矩阵表达形式的类在上述三种操作下都包含所有指数分布的最小类。自那以后，许多研究者在随机建模中使用了PH分布，但最初，大多数应用都集中于排队理论领域，其在可靠性系统中的应用并不广泛。

Neuts和Meier（1981）[5]使用PH分布的形式评估了具有两个部件的可靠性系统的某些令人感兴趣的量。Neuts（1981）[6]研究了具有位相型生存和抗冲击能力的冲击模型，提出了可靠性理论中冲击模型新的闭合定理，即若导致失效的冲击次数和冲击到达间隔时间服从PH分布，则失效时间也服从PH分布。Bhattacharjee和Neuts（1981）[7]计算了当冲击到达的时间间隔服从PH分布时，设备寿命分布的情况，并且证明该分布也是相位型的。Orsquo;Cinneide（1990）[8]研究了PH分布的理论特性。Aalen（1995）[9]综述了与生存模型相关的PH分布，并着重于危险率函数的计算。Neuts等人（2000）[10]研究了服从PH分布的运行和维修时间的单机系统。系统会遭受意外失效（可修复的和不可修复的）和磨损失效，并假设修复后的系统表现不如新的，在模型中引入了几何过程。研究计算了可用性和不同类型故障发生率的数学表达式，表明PH分布在复杂系统可靠性分析中具有重要作用。然而，至此PH分布仍然局限于有理Laplace变换的情况。

PH分布能够自然推广到一般分布，但其相关问题的处理比较复杂。然而，Alfa（2003）[11]提出若一般分布可以被离散化，就可以通过使用马尔科夫链表示来进一步研究该问题。Alfa和Castro（2002）[12]利用PH分布对离散时间下的可修系统进行了分析，得到了系统的平稳分布和更换的最佳时间。Castro和Alfa（2004）[13]研究了在离散时间中，单部件系统的寿命替换策略，该系统的运行和维修时间由一般分布表示，考虑在部件达到预定寿命时进行更换或进行维修两种不同策略。

通过解析方法（Asmussen和Bladt（1997）[14]），或是更新的流解释（Bladt和Neuts（2003）[15]），许多使用PH分布的结果都可以被推广到更广泛的矩阵指数分布（具有有理Laplace变换的分布）上，这使得PH分布有了更广泛的应用。

PH分布的统计推断在20世纪90年代被提出。Asmussen等人（1996）[17]首先使用EM算法求出了似然估计；Bladt等人（2003）[15]提出了基于马尔科夫链Monte Carlo（MCMC）的方法。

Commault和Mocanu（2003）[18]介绍了一种面向系统理论的PH分布，将其与正实现理论联系到一起，证明PH表示的结构结果和标准形式与正系统天然对应。

近几年，PH分布被运用到了更多类型的可靠性建模中。Asmussen（2000）[16]讨论了PH分布在许多风险领域的应用。Montoro-Cazorla等人（2007）[19]扩展了原有模型，研究了服从PH分布的冲击磨损模型的生存概率。Montoro-Cazorla和Peacute;rez-Ocoacute;n（2011）[20]研究了具有故障记忆的冲击磨损系统，其中冲击到达和修复完成之间的时间服从PH分布，计算了可用度和不同失效类型的发生率。Segovia和Labeau（2013）[21]考虑了多状态系统的可靠性问题，即系统会受到内部磨损和外部冲击的影响，而冲击导致的累积损伤会影响系统的磨损过程。Yu等人（2013）[22]具有备件采购提前期和修理工多重休假的位相型几何过程修理模型，研究了系统在瞬态和平稳态下的几个重要性能指标，导出了系统长期平均收益率的显式表达式，并对最优维修策略进行了数值求解。Montoro-Cazorla和Peacute;rez-Ocoacute;n（2015）[23]一种考虑层间失效的冲击磨损模型。在该系统中，内部失效的时间间隔是相互依赖的，并用失效的到达过程由马尔科夫到达过程模拟。文中考虑了最小修复和完全修复两种类型的修复，第一种是瞬时修复，第二种修复的时间由PH分布决定，分别计算了其平稳分布、最小完美修理次数和更换次数，并用数值算例说明了计算结果。Gong等人（2018）[24]推广了一个具有两个阈值的广义连续冲击模型，使用PH分布来建立冲击的损伤大小和到达时间间隔的模型，利用马尔科夫性质构造了一个在冲击过程中逐渐退化的多状态系统，并给出了数值算例来说明结果。

参考文献：