应用各向异性扩散和冲击滤波的非局部自适应结构张量外文翻译资料

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应用各向异性扩散和冲击滤波的非局部自适应结构张量

结构张量被使用于一些基于偏微分方程来估计图像中的局部结构信息。他们已经成为许多图像处理应用中的常用工具。为了整合局部数据信息，结构张量是基于张量乘积的局部正则化。在这篇论文中，我们提出了一种新的基于张量积的非局部特性的正则化模型。所得的非局部结构张量对结构的局部取向的非均匀性的归还是有效的。它在非局部的补丁重复的纹理区域特别有效。这种新的张量正则化也提供了自适应平滑参数和张量积的局部结构的优势。最后，我们解释了这种新的自适应结构张量如何被用于两个偏微分方程：各向异性扩散和冲击滤波器。与其它张量正则化方法和其他偏微分方程的比较表明了使用非局部结构张量的明显优势。

1. 介绍

偏微分方程是在图像处理中非常有用的工具，能够降噪，恢复，增强，和简化图像。正如他们的名字表明，这些方程是建立于某些图像的衍生物，尤其是梯度，对于一个给定的像素，包含推按个的局部和结构信息。但是，凭借这些噪音的存在，来估测信息是很困难的，因为噪声的变动会被微分算子扩大。为了减少噪声的影响，衍生物被使用低通滤波器局部得平滑，比如高斯滤波器和紧支撑核。但是，这种线性滤波可能会局部得导致梯度的消除。正如威切特提出的，这个难题可以通过使用代替其梯度▽I的图像I的二阶矩矩阵的正规化版本来被避免。如下：

G_p是拥有宽度为rho;的内核，I_sigma;是I的平滑系数。这个梯度的估计的大小和方向是分别由最高的特征值和它关联的特征向量给出的。有了这种正则化，两个具有相同方向但是符号相反的梯度将不再相互抵消。J_rho;被称作线性结构张量，在[10]和[11]中都被介绍了。从此，它已被证明在图像处理中的有益作用，现在被使用在很多应用中[12,13]。虽然这种类型的筛选比梯度的一个简单的低通滤波更加有效，但它仍然受到限制，尤其是在梯度场的方向不统一[14]的范围内。在这些情况下，因为正规化是各向同性的和线性的，所以梯度的方向将不被考虑。这可能会破坏梯度场和它的奇点的方向的非规律性，从而破坏在图像的局部结构的信息。这是一种在了解图像非常重要的信息，因为它对应于T形结或角落附近。

用稳健统计或非线性扩散的新方法使得能够局部适应张量的平滑化，使梯度场的非均匀性不被破坏。但是，这种正则化还是局部的，在这个意义上，为了正规化的像素的张量，仅使用相邻像素的张量的信息。这些模型不允许引进非局部的信息进入正则化。但是，共享相同的特性的像素的往往不能紧靠在一起，还有，即使它们沿着相同的边缘位置或在一个纹理相同的地方，他们可能是相距甚远的。于是，一个张量对于另一个正则化的影响应该只依赖于它的具体特点，而不是在两个张量的空间位置。

在一些基于局部常量复原的模型中，基于特定的特性或者特性的组合来正规化图像是可能的。这种类型的滤波越来越多得被用于图像处理[16-18]。大多数模型使用空间位置或者灰色级别作为特性对图像进行降噪。最近，Buades已经发明了一个名为非局部方法过滤的过滤器，和其他相同类型的过滤器相反，它不使用空间位置。这允许引进非局部信息进入正规化。该滤波器的非局部技能使其在引进非局部信息到结构张量方面特别有意思。非局部方法滤波的另一个优势就是，平滑参数可以自适应局部的图像结构。在本论文中，我们建议在非局部和自适应方面来延长张量的正则化的非局部方法滤波。

在[12]和[15]中，自适应结构张量被使用于不同的应用中，如角点检测和纹理分析，以及在光流估计中。在这，我们利用另外两个应用中的非局部结构张量，叫做各向异性扩散和冲击滤波器。

在[12]中，van der Boomgaard et al. 利用了一个强大的统计框架。这个模型使用了一个空间内核K_rho;，能使模型局部化，因此它提供了更高的权重使张量正规化。同时，它依赖于一个参数rho;。此外，由于误差的最小化可以陷入局部最小值，用于图像的路径的方向的最初的选择是至关重要的，不要在这样的最小值收敛。

正则化与高斯对应于各向同性和线性扩散。因此，张量被以不考虑它们分子值得线性方式扩散。作为回复，Brox[14]建议考虑非线性扩散，如进行Perona和Malik扩散。这种方法的主要缺点是，非线性扩散需要张量来平滑衍生物的衍生物(张量元素)。但是，这些衍生物比张量本身更嘈杂，因为它们对应于噪声图像的二阶导数。同时，这种方法依赖于非线性扩散的迭代次数。虽然这两个模型能够自适应张量的正则化，但只有局部正则化才被允许。在纹理区域的情况下，梯度以非局部的方式复制（相同的梯度可以在一个大的距离复制），这两个模型不能建立那些非局部的梯度复制来进行正则化，即使它们可以得到更好的结构张量的估计。它们也只能在一个方面实现正则化，在结构密集区域摧毁一些相关的衍生细节，同时在同质区域保持大面积的衍生物。最后，某些参数必须手动调节，以优化这些模型：在第一个模型中的宽度rho;和内核m，在第二个模型中的扩散的迭代次数。我们首先提出用自适应张量正规化的两种主要方法的简短评论。然后我们展示非局部方法滤波和C_rho;统计[22]，这使得非局部方法滤波的最优平滑参数估计每个像素。在第二部分，我们扩展了张量正则化的非局部方法滤波。因为当图像是嘈杂的时候，张量元素是异方差的，我们使用C_rho;统计的另一个版本[23]，这使得可以用这类型的数据自动估计平滑参数。在最后一部分，我们提出两个应用程序来演示新的非局部结构张量可如何被插入到一个反复扩散过程。在这样做时，几个滤波器参数是自动设置的。

1. 符号

从这里开始，我们用下面的符号[24].让I作为输入图像在Omega;域的离散表示

Omega;是一个大小为m乘n像素的矩形，I(i)是图像中Omega;域中在i处的值。I的参考和修正版本分别由I₀和I记录；I(i)代表I在像素i处的正确的值。对于每个像素i，P_w,q(i)代表在i的中心的窗口大小是（2w 1）*（2w 1）的补丁：

|| ·||_q是在L_p空间的希尔伯特规范。例如，q=infin;和q=2，我们分别得到Tchebychev规范和欧几里得范[24,25]。对于非局部均值滤波，q=infin;是经常被使用的。从这里开始，我们使用P_w(i)代替P_w,infin;(i)。同时，I的所有补丁用Pi;_I表示

在这项工作中，补丁的图像值由I(Pw, infin;(i))表示，w是非局部均值滤波的补丁的大小；在紧凑的形式，我们使用P(i) 和I(P(i))分别代替Pw(i) 和I(Pw(i))。 为了在补丁P(i)

中定位像素k,我们使用P(i ; k)

1. 非局部均值滤波

3.1局部连续复原

由于本文的目的是正规化结构张量中噪声的存在，我们已经调查降噪模式。这些过滤器的主要任务之一是代替每个像素与其他像素的灰度级的图像中的加权和。由于计算的原因，简单的像素被在i中心的大小为（2w 1）*（2w 1）的搜索范围内选择。去噪图像这一形式如下：

ah(i ; k)是与I(k)相关联的权重，非局部均值滤波器的带宽起着平滑参数的作用。在3.3部分，我们需要一个不在i的中心的搜索补丁的选取的候选像素的这个公式化的概括。如果搜索补丁在j的中心，在i处的正确值将会是：

z(i)是正常化之和的系数，dI[i,k]是像素i和k之间的一个平方距离。从这里开始，我们使用d[i,k]代替dI[i,k]，如果不存在混淆。

通过Buades开发的非局部均值滤波是一种去噪滤波器，它使用一个距离d，d该距离是鲁棒噪声。它是相邻的贴片之间的距离，该距离由下式给出：

3.2平滑参数

在（4）式中，参数h能控制图像的平滑度。在这个参数越小，滤波的正规化越低，反之亦然。但是，参数越大，越模糊被引入。最佳平滑参数h是其真正的图像（不是同一个噪声）和去噪图像之间的误差最小。这个误差可以分解为偏差和方差：

我们需要这个提法的一个推广，i是参考真实形象。第一项是偏置，即导入到图像的模糊，和第二对应于仍然去噪图像中的噪声方差。然而，这种误差不能计算的，因为，为了获得偏压，需要真正的图像的知识。为了估计它，由Mallows介绍的C_p统计已经被使用：

被平方偏差的估计的图像估计过程中引入。因此我们有[23]：

因为用于去噪两个相邻像素的样本像素都或多或少相同，对于两个像素的最优带宽将被关闭。所以，为了减少迭代次数，优化方法可以在每个像素与前一像素的最优带宽进行初始化。此外，通过使用一个chi;方检验对D的对高斯噪声的分布或柯尔莫哥洛夫 - 斯米尔诺夫测试其他发行，图像的均匀区域可以识别。这对这些区域的最优滤波的均值滤波被使用。

1. 非局部均值滤波扩张到张量：健全的非局部张量滤波（RNLT滤波）

4.1权重

混合非局部均值滤波和张量的想法已经在文献中提出的。在[32]中，作者使用了结构张量来扩张非局部均值滤波。与非局部均值扩散张量的MRI的去噪在[33]中提出。然而弥散张量磁共振成像不共享结构张量相同的属性，和结构张量的性质更优点可用于它的去噪。

此去噪是基于张量间的欧几里得距离。由于张量空间不是一个向量空间; 黎曼度量会更合适。但是，张量空间相当正规，因为只有邻居张量在阳光下考虑，欧几里德距离是一个很好的近似，正如我们之后看到的。此外，测地距离的计算是费时的，尤其是当它们被包括在一个迭代框架中。

图1. 线样结构的图像和两个像素与他们的邻里模式。

相同的权重被分配给样品张量的每个信道的正规化，为了保持结构张量的半阳性。权重ah(i ; k)在（4）式中被计算。但是两个张量J(i)和J(k)之间的距离dJ 1frasl;2i; k应该反映两个张量的每个通道之间的距离。因此，我们使用下面的距离：

d_J是在信道之一的邻里间的距离，dJl[i,k]是这个距离的一个隐形式指的是中央像素。然而，相对于图像的街区之间的距离d，d_J是更复杂的张量。在图1中，为了说明这一困难，我们考虑了像素I(k)和I(i)和其相关的邻近碎片P(k)和P(i)。由于他们属于相对边缘，张量J(k)应积极参与去噪。然而，可以注意到，对于每个信道l，邻近补丁Jl(P(k))和Jl(P(i)) 只相差至多一个水平的和/或垂直对称。所选择的距离是下列形式：

4.2在一个张量的信道的噪声

让我们考虑用方差的白噪声污染的图像。在高斯噪声的情况下，在像素i的张量J1frasl;2I0的信道的噪声的方差是由下列公式给出：

下标x和y指出了图像衍生物。它们对应于与过滤器的图像卷积（对于非高斯噪声，噪声的峰度应该以计算前三个方差已知）。式（15）显示在每个通道中的方差取决于真实图像的衍生物的灰度级。灰度级越轻，信道的噪声方差越高。

I0, x 和I0, y的值是未知的，因为它们取决于未知的真实图像I₀。对于这些信道的一个很好的正规化，我们必须使用一个自适应平滑根据噪声方差的值来设置去噪功率。这意味着，当噪声方差是在张量信道高一个强正则可以使用，在低的时候会变轻。所以，对于这样的降解，我们使用C_p统计延长异方差数据，是：

对于张量正规化，稳健回归也是被建议的，特别是因为衍生品的街区往往是非常不同的。

图2.张量J(P(i))和J(P(k))的三个信道的邻近的补丁，I(P(i))和I(P(k))来自图1

4.3一个强大的回归

在3.3部分，我们使用了稳健回归，提高正规化的质量。相同种类的回归也用于正规化张量，我们采用相同的阈值的方法来将其嵌入在平滑滤波。特别的，对每个信道l，我们的阈值的距离dJl 代替dJ ，作为噪声是在张量通道异方差的阈值应该被设置逐像素，并根据该信道。该阈值允许抑制具有至少一个信道是从该张量被正规化非常不同样品张量。

坚固的非局部结构张量的形式如下：

7.结论

在这项工作中，我们扩大了非局部均值滤波张量的正规化。这种概括允许使用非局部信息。同样，这种过滤方法是无参数的，并自动适应正规化率张量的局部结构，从而可以自动获得的非局部结构张量。线性结构张量往往是基于PDE-使用方法。在这里，我们着重于其中的两个：各向异性扩散和冲击滤波器。我们已经示出的非局部结构张量是如何插入到一个迭代扩散过程。这种新的结构张量导致在两个PDE的参数数量的减少。由于非局部工具，导数的更好的估计可能使图像更好的扩散。

承认

这项工作已由NSERC主办。

附录A

作为提醒，我们考虑去噪图像I：I=I₀ V_ε

u是真实图像；ε是拥有输入滤波的影响图像的方差的噪声；v是降低噪音系数。然后：

假设噪声是高斯，我们得到：

所以：

相同的方式，在信道I_y²的噪声的方差给出：

最后，交叉衍生物的方差由下式给出：

因此：

参考文献：

• [1] L.

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