通过简单直观的推导理解卡尔曼滤波的基础外文翻译资料

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通过简单直观的推导理解卡尔曼滤波的基础

拉姆齐·法拉格尔

本文提供了一个简单和直观的推导卡尔曼滤波器，目的是教学这一有用的工具，学生从迪斯科线，不需要一个强大的数学背景。理解这一推导所需的最复杂的数学层次是将两个高斯函数相乘并将结果简化为一种紧凑形式的能力。卡尔曼滤波已经有50多年的历史了，但它仍然是当今最重要、最常用的数据融合算法之一。

卡尔曼滤波器它的巨大成功是由于它的小运算要求，优雅的递归性质，以及它作为一维高斯误差统计线性系统最优估计器的地位。卡尔曼滤波的典型应用包括平滑噪声数据和预测参数估计。应用包括全球定位系统接收器，无线电设备的锁相环，平滑笔记本电脑轨道板的输出，等等。从理论上讲，卡尔曼滤波是一种允许线性动力系统精确推理的算法，它是一种贝叶斯模型，类似于隐马尔可夫模型，但隐变量的状态空间是连续的，且所有潜变量和观测变量都具有高斯分布(通常是多变量高斯分布)。本课堂讲稿的目的是通过简单直观的推导，让那些发现这种描述令人困惑或恐惧的人理解卡尔曼滤波的基础。

1.相关

卡尔曼滤波器[2](及其变体如扩展卡尔曼滤波器[3]和Unscented卡尔曼滤波器[4])是信息处理领域最著名和最流行的数据融合算法之一。最著名的早期使用卡尔曼滤波器是在阿波罗导航计算机，把尼尔阿姆斯特朗月球，(最重要的)带他回来。今天，卡尔曼滤波器工作在每一个卫星导航设备，每一个智能手机，和许多电脑游戏。卡尔曼滤波是典型的以向量代数作为最小均方估计量[5]，这是一种适合于对数学有信心的学生的方法，但对于不需要强数学的学科的学生来说不是一种容易掌握的方法。本文从第一原理出发，考虑到一个简单的物理例子，利用高斯分布的一个关键性质，特别是两个高斯分布的乘积是另一个高斯分布的性质，导出了卡尔曼滤波器。读者应该熟悉向量表示法和与卡尔曼滤波相关的术语，如状态向量和Cova-Riance矩阵。

2.先决条件

本文针对的是那些需要以简单和直观的方式教别人卡尔曼滤波器的人，或者那些已经对卡尔曼滤波器有一些经验但可能不完全理解其基本原理的人。这篇文章并不打算成为一个完整的新手的彻底和独立的教育工具，因为这将需要一个章节，而不是几页，以传达。

3.问题陈述

卡尔曼滤波模型假定系统在t时刻的状态由t-1的先验状态演化成方程

（1）

xt是时间t时包含系统感兴趣项(例如位置、速度、航向)的状态向量。

Ut是包含任何控制输入(转向角、离合器设置、制动力)的向量。

Ft是状态转移矩阵，它利用了时间t-1处各系统状态参数对时间t-1处系统状态的影响(例如，时间t-1处的位置和速度都会影响时间t处的位置)。

Bt是控制输入矩阵，它应用了矢量ut中各控制输入参数对状态向量的影响(例如，应用节气门设置对系统速度和位置的影响)。

Wt是包含状态向量中每个参数的进程噪声项的向量。假设过程噪声是由协方差矩阵Qt给出的零均值多元正态分布的协方差。
根据模型，还可以对系统进行测量。假设过程噪声是由协方差矩阵Qt给出的零均值多元正态分布的协方差。根据模型，还可以对系统进行测量，

（2）

其中Zt是测量的矢量。

Ht是将状态向量参数映射到测量域中的转换矩阵。

Vt是包含测量向量中每个观测值的测量噪声项的向量。

与过程噪声一样，测量噪声假定为零均值高斯白噪声，具有协方差Rt。

在下面的推导中，我们将考虑一个简单的一维轨道问题，特别是列车沿铁路运行的问题(见图1)。因此，在这个问题中，我们可以考虑一些向量和矩阵的例子。状态向量Xt包含列车的位置和速度。

列车司机可以对系统施加制动或加速输入，我们在这里将其视为所施加的力ft和列车质量m的函数，这种控制信息存储在控制向量ut中

通过制动器或节气门施加的力在时间周期∆t(时间周期t-1和t之间的时间)与列车的位置和速度之间的关系由以下方程给出：

这些线性方程组可以用矩阵形式写成

通过与(1)的比较，我们可以看到，对于这个例子，

系统的真实状态不能直接观测到，卡尔曼滤波器提供了一种将系统模型与某些参数的噪声测量或参数的线性函数相结合来确定估计值xtt的算法。因此，状态向量中感兴趣的参数的估计现在由概率密度函数(Pdfs)提供，而不是dis-crete值。卡尔曼滤波器基于高斯pdfs，在下面的“解决方案”部分中的推导之后将变得清晰。为了充分描述高斯函数，我们需要知道它们的方差和协方差，它们存储在协方差矩阵Pt中。Pt主对角线上的项是与状态向量中相应项相关的变量。Pt的非对角项提供了状态向量中项之间的协方差。对于从零均值高斯分布中提取的具有测量误差的一维线性系统，卡尔曼滤波被证明是最优估计器[1]。在本文的其余部分，我们将推导卡尔曼滤波方程，该方程允许我们结合先验知识、系统模型的预测和噪声测量来递归计算xtt。

卡尔曼滤波算法分为预测和测量更新两个阶段，预报阶段的标准卡尔曼滤波方程是

其中Qt是与噪声控制输入相关联的过程噪声协方差矩阵。在上述讨论中详细推导了方程(3)。我们可以导出(4)如下。给出了未知真值xt的预测值txt；t-1的方差

把(3)和(1)之间的区别

[图1]这个图显示了正在考虑的一维系统。

[图2]系统在时间t=0时的初始知识。红色高斯分布表示PDF，它提供了对列车位置估计的初始置信度。指向右边的箭头表示已知的列车初始速度。

注意到状态估计误差和过程噪声是不相关的。

测量更新方程如下

当

在本文的其余部分，我们将从第一原理推导出度量更新方程[(5)-(7)]。

解决方法

卡尔曼滤波器将在这里通过考虑一个简单的一维跟踪问题，特别是列车沿铁路线运行的问题来推导。在每个测量时期，我们都希望知道对列车位置(或者更准确地说，火车车顶上安装的无线电天线的位置)的最佳估计。有两个来源的信息是有用的：

1. 预测。根据最后已知的列车位置和速度。

2）以及部署在轨道一侧的无线电测距系统的测量结果。来自预测和测量的信息是相互联系的，以提供对列车位置的最佳估计。

系统的初始状态(时间t=0s)以合理的精度已知，如图2所示。列车的位置是由高斯PDF给出的。在下一时刻(t=1s)，我们可以根据已知的极限来估计列车的新位置，如t=0处的位置和速度、最大可能的加减速等。在实践中，我们可能有一些知识的控制输入上的刹车或加速器的司机。在任何情况下，我们都可以预测列车的新位置，如图3所示，用新的均值和方差表示新的高斯pdf。从数学上讲，这一步用(1)表示。方差增加了[见(2)]，与t=0相比，我们对位置估计精度的确定性降低了，这是由于从时间t=0到时间t=1的加速度或解码过程噪声带来的不确定性。

[图3]这里给出了t=1时列车位置的预测和预测的不确定度。对列车位置知识的信心下降了，因为我们不确定列车在t=0到t=1的间隔期间是否经历过加速或减速。

[图 4]显示了列车在时间t=1处的位置测量和噪声测量中的不确定度水平，用蓝色高斯pdf表示。通过将这两个pdf相乘，提供了该系统的组合知识。

[图5]显示通过乘以与时间t=1的列车位置的预测和测量相关联的pdf生成的新pdf(绿色)。

这一新的pdf通过融合预测和测量的数据，提供了对列车位置的最佳估计。

在t=1时，我们还用无线电定位系统测量了列车的位置，这用图4中的蓝色高斯pdf表示。结合我们从预测和测量中获得的知识，我们可以对列车的位置做出最好的估计。这是通过将两个相对应的pdf相乘来实现的。图5中的绿色pdf表示了这一点。

这里利用了高斯函数的一个关键性质：两个高斯函数的乘积是另一个高斯函数。这是关键的，因为它允许无限数量的高斯pdf随时间相乘，但所得到的函数在复杂度或术语数量上不增加；在每次纪元之后，新pdf完全由高斯函数表示。这是卡尔曼滤波器优雅递归特性的关键。

现在再次考虑图中所描述的阶段，以数学的方式推导卡尔曼滤波测量更新方程。

用图3中的红高斯函数表示的预测pdf由方程给出。

图4中的蓝色高斯函数表示的测量pdf是由

这两个pdfs提供的信息通过将这两个pdfs相乘而融合在一起，即同时考虑预测和测量(见图5)。新的pdf表示来自预测和测量的信息的融合，以及我们对系统的最佳电流估计，因此由这两个高斯函数的乘积给出。

（10）

这个新函数中的二次项可以展开，然后用高斯形式重写整个表达式

当

最后两个方程表示卡尔曼滤波算法的测量更新步骤，如下所示，但是，为了呈现更一般的情况，我们需要考虑对此示例的扩展。

在上面的例子中，假设预测和测量是在相同的坐标框架和相同的单元中进行的。这就产生了一组特别简洁的方程，代表预测和测量更新阶段。然而，重要的是要注意，在现实中，通常需要一个函数来将预测和测量映射到相同的域中。在更现实的情况下，我们的例子，列车的位置将直接预测作为一个新的距离沿铁路沿线米单位，但飞行时间测量记录的单位秒。为了使预测和测量pdfs相乘，必须将一个转换为另一个的域，并且通过转换矩阵Ht将预测映射到度量域是标准实践。

我们现在重温(8)和(9)，而不是让y1和y2都代表沿铁路轨道上的米数，我们认为y2分布代表从x=0的发射机传输到火车天线的无线电信号的飞行时间(以秒为单位)。空间预测pdf y1通过将该函数缩放为c，即光速，将其转换到测量域中。因此，方程式(8)和(9)必须改写为

这两个分布现在都定义在测量域中，无线电信号沿时间“s”轴传播，测量单元是第二个。

按照前面的推导，我们现在发现

类似地，融合方差估计变成

（18）

我们现在可以将这种标量推导产生的某些术语与卡尔曼滤波算法中使用的标准向量和矩阵进行比较：

现在很容易看出Stan-dard卡尔曼滤波方程是如何与上面导出的(17)和(18)联系起来的：

结论

卡尔曼滤波器可以使用一个简单的推导，包括标量数学，基本的代数操作，和易于遵循的思想实验。这种方法应该允许缺乏强烈的数学兴趣的学生以直观的方式理解卡尔曼滤波器的核心数学，并理解滤波器的递归性是由高斯函数的唯一多重性提供的。

参考文献。

[1]B.D.O.Anderson和J.B.Moore，最优滤波。纽约：多佛，2005。

[2]R.E.Kalman，“线性滤波和预测问题的新方法”，J.Basic Eng.，第二卷。

82，第1号，第35-45页，3月1960。

[3]P.D.Groves，GNSS、惯性和多传感器组合导航系统的原理。诺伍德，MA：艺术之家，2008。

[4]S.J.Julier和J.K.Uhlmann，“Unscented Filter-ing and非线性估计”，Proc.。IEEE，第二卷。92，3号，第401-422页，2004页。

[5]J.Biby和H.Toutenburg，“线性模型中的预测和改进估计”。纽约：

威利，1977。

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