黎曼结构形状的空间：一种统计推断的框架外文翻译资料

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黎曼结构形状的空间：一种统计推断的框架

Shantanu Joshi,1 David Kaziska,2 Anuj Srivastava3 and Washington Mio4

1 电气工程，佛罗里达州立大学，塔拉哈西，佛罗里达州32310 1部，USA. joshi@eng.fsu.edu

2佛罗里达州立大学统计系，塔拉哈西，佛罗里达州32306，USA. kaziska@stat.fsu.edu

3 佛罗里达州立大学统计系，塔拉哈西，佛罗里达州32306，USA. anuj@stat.fsu.edu

4 数学，佛罗里达州立大学，塔拉哈西，佛罗里达州32306 4部，USA. mio@math.fsu.edu

概要。形状特征对于图像分析中的推论变得越来越重要。形状分析涉及选择形状的数学表示，导出用于量化形状差异的工具，以及根据其边界的形状来表征成像对象。在本文中，我们专注于在中连续曲线的开放和闭合的特征形状。在适当的限制下，消除形状保持变换，这些曲线形成无限维的非线性空间，称为形状空间，在其上提出推理。我们在这些空间上施加两个黎曼度量，并研究所得结构的属性。黎曼分析形状的一个重要工具是在形状空间中构造测地路径。不仅地球测量学量化形状差异，而且它们还提供了用于计算内在形状统计的框架。我们将演示算法来计算简单形状统计 - 均值和协方差，并将使用局部主成分分析（PCA），称为正切PCA（TPCA），导出形状空间的概率模型。这些概念使用许多应用进行了展示：（i）根据图像的形状进行非监督的聚类，（ii）在红外监视图像中形成人类轮廓的统计形状模型，（iii）内膜和心外膜边界的插值在超声心动图图像序列中，和（iv）使用形状统计学来测试系统发育假说。

关键词：黎曼度量，形状统计，形状聚类，TPCA。

1 简介

丰富的特征可用于分析图像的内容。颜色，纹理，边缘，边界，顶点，空间频率和位置是突出的示例之一。在动态场景的情况下，利用视频测量，时间特征也开始起作用。在过去几年中，形状已经成为检测，提取和识别成像对象的重要特征。形状分析可以为图像理解提供有价值的见解。作为示例，考虑图1的顶行。其显示从不同应用获取的五个图像：使用红外相机的人类监视，人类心脏的心电图，动物的视频图像和恐龙骨骼的图像。下图显示了这些图像中存在的对象的相应硅通道。很明显，这些轮廓的形状可以帮助描述这些图像中存在的物体的特征，有时甚至可以识别这些物体。

用于形状分析的工具已经在包括医学图像分析，人类监视，军事目标识别，指纹分析，空间探索和水下搜索的多种应用中证明是重要的。追求形状分析的一个原因是有效的表示和形状分析可能有助于甚至在观察被破坏的情况下，例如当物体被过度杂乱部分遮蔽或破坏的情况下。这种可能性，随着统计方法的发展，导致了贝叶斯形状分析的想法。在这种方法中，上下文知识用于对形状空间强加先验概率，随后使用后验概率来执行图像推理。以下项目是贝叶斯形状分析中的重要成分。

图1. 图像中对象边界的形状分析可以帮助计算机视觉任务，例如检测和识别。

1、需要对平面曲线（闭合和开放）模型形状保持变换（刚性运动和单位缩放）作用于形状的有效表示。

2、为了进行形状的内在分析，需要理解形状空间的不同几何形状。特别地，需要定义切线空间，积分曲线，单参数流和测地线路径。在切线空间上选择黎曼度量导致定义测地线路径所需的黎曼结构。

3、一个需要工具来定义和计算简单的形状统计，例如平均值和协方差，形式空间是固有的。

使用这些基本工具，可以通过提出以下问题来寻求更高级的统计形状分析方法：

a.可以使用什么概率模型族来描述观察到的形状集合中的变异性？

b.我们如何对形状空间执行贝叶斯推理？任务可以包括最大后验（MAP）形状的估计或者从后验密度的采样。

c.给出观察到的形状，我们如何确定它属于哪个形状族？换句话说，我们如何对形状空间执行假设检验？

解决上述问题的综合形状理论也将为形状的表示，比较，聚类，学习，估计和测试提供工具。在我们介绍我们的统计形状分析方法之前，我们总结一些过去的方法。

以前的大部分功能已经被限制在对形状的二维或“基于地标的”分析。这里，形状由对象形状的粗略离散采样表示[4,13]，并且关键点或着陆标记被定义在轮廓上。然而，这个过程需要专家的干预，因为地标的自动检测不是简单的。由于分析主要取决于所选择的地标，这种方法在其范围上受到限制。此外，在该框架中的具有测地线的形状内插缺少物理解释。一种称为主动形状模型的统计方法使用陆标的主成分分析（PCA）来模拟形状变异性[3]。尽管它的简单性和高效性，这种方法是相当有限的，因为它忽略了形状空间的非线性几何。 Grenander的公式[5]将形状视为无限尺寸多边形中的点，其中形状之间的变化通过李群（diffeomorphisms）对这些歧管的作用来建模[6]。 Miller et al. [19]使用高维二维群的动作进行非弹性形状匹配。在[20]中，引入了一种黎曼度量，其通过基于群动作的弹性形变来匹配形状。最近的一个几何方法[18]计算PCA在切线空间中分析形状变化的地标设置。总之，以前大多数关于分析平面曲线形状的工作涉及点的离散收集或R2上的变形。很少有形状作为曲线被研究！相比之下，最近的一种方法[10]考虑了R2中连续闭合曲线的形状，而不需要地标，形状变化或水平集来模拟形状变化。如后所述，该想法也适用于开放曲线的形状。

研究曲线形状的一个重要问题是：如何选择促进定量形状分析的指标？第二，什么物理解释可以与这些指标相关联？在本文中，我们提出两个黎曼度量（在曲线的空间）和结果形状比较。与[10,14]中采用的方法类似，一个选择是消除与形状空间相切的空间上的L2度量。在曲线由弧长或单位速度参数化表示的情况下，该度量具有良好的物理解释，导致对曲线形状的纯非弹性分析。允许曲线自由弯曲，但不允许任何伸展或压缩。另一个想法是允许曲线的可变速度参数化，利用物理解释，当比较时允许曲线拉伸和压缩。在这种情况下，曲线由两个函数表示：形状函数和速度函数，并且允许曲线根据所选择的度量弯曲和拉伸。在由这两个函数形成的联合空间上，我们施加乘积L2度量，由速度函数分级。该度量通过调节弯曲成本与拉伸成本的参数组合形状和速度函数的贡献。我们把这种方法称为弹性形状的分析[12]。

本章的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了两种情况下的表示，度量和测地线：非弹性和弹性形状。第3节介绍了为非弹性形状导出的几何工具的各种示例。它描述了统计方法的计算，聚类，概率建模及其在图像分析中的应用。特别地，我们提出：（i）根据包含在其中的对象的形状聚类视频图像，（ii）在超声心动图像序列中内插心脏边界，（iii）在红外监视中对人体轮廓的造型， （iv）使用测地长度进行系统发生形状聚类。我们在第4章中总结和讨论本章。

2 平面形状分析的几何方法

在本节中，我们将指定曲线的空间，在其上施加黎曼结构，并且提供用于计算这些空间中的测地路径的工具。 如前所述，我们将提出两种情况：（i）假设长度参数化的非弹性曲线的形状，和（ii）弹性曲线的形状，允许曲线参数化中的不均匀速度。 在前一种情况下，我们将处理闭合曲线，在后一种情况下，我们将关注闭合曲线和开放曲线。

2.1 非弹性形状的几何表示

非弹性形状包括使用角度参数化表示的所有曲线。 这种形状之间的匹配通过将一个形状连续地弯曲到另一个形状来进行。 这种方法在Klassen等人的最近一篇论文中提出。 [10]。 我们将在这里总结主要想法，并参考那篇文章的细节。

形状表示

将成像对象的边界或轮廓视为（或等效地为）中由角度参数化的闭合平面曲线。 定义与曲线相关的角度函数或方向函数，通过测量速度矢量与正轴的角度作为弧长的函数。 曲线的坐标函数与根据的该角度函数相关，该曲线的曲率函数由。 曲线可以由其坐标函数alpha;，角度函数或曲率函数表示，如图2所示。

图2 经由和坐标函数（第二面板），角度函数（第三面板）或曲率函数（最后一个面板）的平面曲线（左面板）的替代表示。

在这种方法中，我们选择角度函数来表示和分析形状。令方向函数是的元素，其中代表具有周期的所有实值函数的空间，并且可在上积分。下一个问题是考虑形状的等价性。如图3所示，形状是对于刚性运动（平移和旋转）和均匀缩放不变的特性。此外，对于闭合曲线，形状对于曲线上的原点（或起点）的布置也是不变的。为了建立允许这种不变性的表示，我们如下进行。我们通过迫使曲线具有长度来去除尺度变化。平移已经被去除，因为角度函数是不变的。为了使形状不随旋转，将角度函数限制为，使得。此外，对于闭合曲线，必须满足闭合条件：cedil;。简而言之，一个限制为集合。此外，去除重新参数化组（与原点的不同位置有关），将商空间定义为连续的平面形状的空间，其中表示中的单位圆。 称为预成形空间，称为形状空间。

图3形状是一种对刚性旋转，平移和均匀缩放不变的特性。 上述所有对象被认为具有相同的形状。

为了形状分析的目的，诸如尺度，位置，取向等附带变量被称为烦扰变量，并且如上所述被去除。 相比之下，图像中对象的检测和识别需要估计其形状和烦扰变量。 在这种情况下，形状和扰乱变量可以具有独立的概率模型。 令为多个扰乱变量的空间，其中且让为闭合曲线的表示， 是其形状，是它的干扰变量。

黎曼公制

我们在的切线空间上选择内积来量化形状差异。 换句话说，对于任何，我们有。 该度量具有良好的物理解释，形成之间的最终测地线表示从一个形状到另一个形状的最小弯曲能量的路径。

S1中的形状之间的大地测量路径

黎曼形状分析中的一个重要工具是在任意形状之间构建这种路径。 Klassen et al。 [10]在中通过在中连续绘制线段并将它们投影到上的近似测地线。 对于任何两个形状，一个使用射击方法在它们之间构建测地线。 由于是的商空间，我们通过在中构造垂直的测地线来构造中的测地线。

图4在形状空间中发现测地线的拍摄方法的卡通图。

到中的等价类。的商空间中的测地线的构造类似于上的运动。基本思想是搜索第一形状处的切线方向，使得该方向上的测地线在单位时间内达到第二形状（称为目标形状）。 通过使用梯度过程最小化被定义为弦长或所达到的形状与之间的距离的“误差函数”来执行该搜索。 该过程在图1中示出。 这个选择意味着两个形状之间的测地线是使用最小能量将一个形状弯曲到另一个形状的路径。 如图5所示是描绘两个端部形状之间的演变的测地路径的示例。 由单个Pentium IV处理器供电的台式PC目前需要不到0.04秒来计算测地路径。

图5中几个测地路径的示例。

对于符号，让是从开始，在的方向上作为时间的函数的测地路径。 这里，表示在点处与相切的函数的空间。 如果是从到单位时间内的的拍摄方向，则以下成立：，，。 该测地线的长度由给出。 在计算形状统计和其他应用程序中使用测地路径在第3节中进行了说明。

2.2弹性形状的等长表示

在本节中，我们允许曲线具有变速参数化，导致在比较曲线时局部拉伸和压缩曲线。该框架类似于先前的情况，除了形状表示现在包括除了角函数之外的速度函数。此外，黎曼度量被修改以解释这种表示的变化。另一个不同在于我们研究开放曲线的形状。闭合曲线可以通过附加的闭包约束来处理，如前一节所示。

形状表示

令是在的意义上的平滑非奇异参数曲线。我们可以写它的速度矢量，其中和是平滑的，同时。函数是以对数标度表示的的速度，是如前所述的角度函数。 是间隔在处被拉伸或压缩以形成曲线的速率的测量; 表示附近的局部拉伸，局部压缩。的长度元素为。通过arclength参数化，即以单位速度遍历的曲线是的那些。我们将通过对表示，并且通过表示所有这样的对的集合。

由平面的刚性运动或均匀缩放或通过保持方向的重新参数化所得的参数曲线表示相同的形状。由于函数和编码曲线的速度场的属性，所以对对于曲线的平移是明显不变的。旋转的效果是将常数添加到保持不变的，并且以因子缩放曲线将改变为，保持不变。为了在均匀缩放下获得不变性，我们将对限制为长度为的那些表示曲线。为了获得旋转不变性，我们将角度函数相对于arclength元素的平均值设为例如pi;。换句话说，我们将形状代表限制为满足条件的对

其中称为平面弹性绳的预成形空间。保持曲线的取向和非奇异性的的重新参数化是通过用取向保持差分组成而获得的那些; 对的作用是产生由表示的曲线，其中表示映射的组合。因此，重新参数化定义了上的区间的定向保持差分的组的动作（更准确的动作）

平面弹性带的形状空间被定义为商空间，其通过重新参数化来识别所有曲线。

黎曼公制

为了定量比较曲线，我们假设它们由弹性材料制成并且采用测量阻力以将曲线重新成形为另一个的度量，同时考虑到弦的弹性。无论如何，这可以使用上的黎曼结构来

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