量化反馈控制的扇形边界方法外文翻译资料

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量化反馈控制的扇形边界方法

摘要——这个报告研究一些线性系统的量化反馈设计问题。我们将量化静止状态考虑在内（无记忆的）。那些设计问题的共同目的是使指定的系统稳定或者使粗量化密度打到一定的性能。我们主要的发现是传统的扇形边界方法对于这些设计问题的研究是非常保守的。因此，我们可以将许多量化反馈设计问题转化为具有有界不确定性的著名的鲁棒控制问题。特别的，我们在状态反馈和输出反馈的例子下从多输入多输出系统的稳定性中得到粗量化密度；我们还从二次成本与性能中得到量化反馈控制的条件。

关键词——控制，线性二次控制，二次稳定，量化反馈，扇形边界方法。

I.介绍

量化反馈控制长期以来一直是一个重要的研究领域。早在1956年，Kalman [1] 就研究了一个采样数据系统中的量化效应并指出如果使用有限字母量化起对稳定控制器进行量化，反馈系统会呈现出极限环与无序行为。大部分对于量化反馈控制的工作专注于理解和减轻量化效应；见[2]-[4]。

一种简单的经典的量化效应的分析与缓解方法是将量化误差视为不确定性或非线性的，用扇形区域来约束它。通过这样的方法，鲁邦分析工具，比如绝对稳定理论（），可以被用来研究量化效应。进一步的，控制参数可以被优化以尽量减少量化效应。我们将这叫做扇形边界方法。

在量化反馈控制的一个新的研究领域中，量化器被认为是一个信息编码器。有趣的是，根本的问题是量化器需要传达多少信息才能达到一定得控制目标。引人注目的作品包括[7]-[20]。在文献[16]内，研究了关于使用量化反馈的离散单输入单输出线性时不变系统的二次稳定的问题。量化起被假定为静止时不变的（即无记忆以及固定量化程度的）。在[16]中证明了二次稳定系统需要对数量化器（即在对数尺度上量化等级是线性的）。此外，在系统的不稳定极点处明确的指定了粗量化密度。请注意，所需的量化器具有无限量的量化级别，因为它具有时不变性。当有限数量的量化等级可用时，所谓的实际稳定性是在一个吸引域的状态下得到的，而稳定状态收敛到一个小的极限环。人们在考虑许多方法来缩放量化器的动态范围，以便增大吸引域，并减小极限环的大小。

当量化器被允许是动态的和时变的时，显然有利于动态地量化量化级别，从而增大吸引域并减小稳态极限环。这是[]-[]的真正的基本思想。事实上，在[12]里就指出只用一个有限的量化等级就可以使得单输入单输出线性时不变系统（在某种随机意义上）稳定。此外，在无噪声通信的条件下，最小量化等级（也叫最小反馈信息率）与系统的不稳定极点有关。在这一背景下，实际上动态量化器由两部分组成：输出端的编码器和输入端的解码器。关于最小反馈信息率的问题，在[13]中通过对编码器和解码器的结构分析可以得到更多的细节。许多动态量化器的量化反馈结果可能是不真实的，对此我们很谨慎。主要有一下三个问题：1）大部分的结果只用于稳定而不是用于性能控制；2）因为良好的控制设计算法的匮乏，瞬态响应通常非常差；3）在[15]中指出，性能结果一般不适用于非噪声的实际通信信道。

本文中最重要的工作是[16]。事实上，本文来源于一下动机。第一，[16]中的结果是面向单输入单输出系统的且仅用于稳定。我们想知道如何将他们的结果推广到多输入多输出系统并用于性能控制设计。第二，虽然用于[16]的技术是新奇的，但是好像并不易于理解。这可能就是为什么归纳他们的结果很困难的原因。

在本文中，第一，我们首先回顾[16]中基于使用量化状态反馈的二次稳定的单输入单输出线性系统的主要的结果。我们指出粗量化密度可以使用扇形边界方法轻易的获得。这不仅仅对结果作出了更简单的解释，还为结果的推广提供了依据。进一步的，粗量化密度与的优化问题直接相关，这比把它与[16]中研究的一个“昂贵”的控制问题联系起来更好，因为最佳的控制与具有粗量化密度的量化反馈拥有相同的线性反馈增益。第二，我们研究SISO系统的输出反馈稳定。考虑了两种案例：基于观测器的量化状态反馈和采用量化输出的动态反馈。我们指出前一种情况下的粗量化密度与其在量化状态反馈下相同，而后一种情况下与一个不同的优化问题有关并且通常需要更精细的量化密度。第三，我们将二次稳定问题推广到MIMO系统并指出对数量化器的二次稳定与具有扇形有界不确定性的相关系统的二次稳定相同。由于后一种问题已经得到了详细的研究，第一个问题的技术难度得到了清晰的显示。在一个的优化问题下，为了量化二次稳定，给出一个充分条件。与SISO系统案例一样，考虑状态反馈和输出反馈。最后，我们将结果推广到性能控制问题。对线性二次性能和性能问题都进行了研究并且为量化一个给定的性能指标给出条件。

II. 采用量化状态反馈的稳定

在这一部分，我们回顾了Elia和Mitter在[16]中做的关于使用量化状态反馈的稳定性的工作，并解读了他们采用扇形边界方法的结果。

在[16]中最简单最基本的例子是以下系统的二次稳定问题：

(1)

其中 , , x是状态量，u是控制输入。我们假设两种情况：不稳定的和稳定的。以下面的形式考虑量化状态反馈：

(2)

. (3)

在上面的式子中，是非量化的反馈方法，是被假定为奇函数的量化器，即。注意量化器是静态的，且是时不变的。一组（不同的）量化级别由以下公式确定

(4)

每个量化级别（称为）对应一个环节（称为），也就是量化器将整个环节映射到量化级别上。此外，这些环节来自于中的分区，即它们是不相交的并且它们组合起来就是。

在区间用量化等级的数值。量化器的密度用以下公式定义：

. (5)

用这个定义来定义一个非零量化器的量化级别数值，当区间增大时有限的量化密度呈对数增长。一个小的对应一个粗量化器。有限量化器（即具有有限量化级别的量化器）的，线性量化器的。

如果一个量化器具有以下形式，就被称为对数量化器：

(6)

相关的量化器f定义如下：

(7)

其中

(8)

这很容易验证的对数量化器。这意味着越小，越小。因为这个原因，在本文的其余部分，我们将使用（而不是）来表示量化密度。对数量化器在Fig.1中说明，非对数量化器在Fig.2中说明。

二次镇定问题中，二次李雅普诺夫函数，被用来评估反馈系统的稳定性。这就是说量化器必须满足



粗量化是指受（9）约束降低至最小的。但是由于（9）的约束是严格不等式，这个粗量化一般来说是不可达到的。

需要的量化级别取决于(也就是),和。这就引出了关键问题：，在所有可能的和中粗密度是什么？这个问题的答案在[16]中有指出，具有的对数量化器由以下公式给出

(10)

其中是A的不稳定特征值。

我们从Figs.1和2中看出，量化器可以由扇形区域限定。对于对数量化器而言，扇形区域是由一个单一的参数所描述的，这个参数与（8）的量化密度有关。相比之下，对于非对数量化器而言是两个参数， 和，需要对这个区域进行大体上的描述。对于有限量化器和线性量化器而言，当输入比一些最小的阈值还要小时（大小上），需要一个默认输出值。如果，则; 否则，。

在下面的定理中，我们用扇形边界方法来研究系统（1）中的量化状态反馈问题。特别的，我们揭示了量化状态反馈稳定问题和具有扇形边界不稳定性的状态反馈二次稳定问题之间的密切联系。这种联系导致粗量化密度结果的另一种证明（10）。

定理2.1：以下结果保持不变。

1）如果系统（1）经过量化状态反馈（2）—（3），是二次可稳定的，那么粗量化密度可以通过对数量化器和线性量化反馈法来获得。

2）给定一个具有量化密度的对数量化器，当且仅当以下不确定系统经过线性状态反馈是二次可稳定的时，系统（1）经过线性状态反馈量化是二次可稳定的：

(11)

3）满足对(11)经过线性状态反馈是二次可稳定的最大扇形边界由以下公式给出

(12)

因此，(1)的粗量化密度由(10)给出。

证明定理2.1需要四个引理。

引理2.1：考虑使用量化状态反馈(2)–(3)的系统(1)的二次稳定以及一个给定的Lyapunov矩阵。然后，粗量化密度可以通过一个的线性状态反馈和一个对数量化器得出

(13)

附录中给出了证明。

引理2.2：给定一个常熟变量，一个常数矩阵，一个向量函数，一个标量，以及一个具有以下属性的标量函数：对于任意的，存在使得。定义以下矩阵函数：

(14)

然后

(15)

当且仅当

(16)

证明：显然(16)包含(15)。相反的，我们假设(15)成立但是(16)不成立。那么，存在一些和满足

(17)

我们使。的确，如果，那么

(18)

(14)和(17)与(15)矛盾，所以。由于的特征，存在标量使得。定义。则

违反了(15)。因此，(15)必然包含(16)。

引理2.3：考虑到(11)中的不确定系统。定义

(19)

那么，可实现二次稳定的最大的由以下给出

(20)

证明：众所周知[22]-[24]中，当且仅当

可实现(11)的二次稳定

以上述公式来限制(20)。

引理2.4：(20)由(12)给出。

附录中给出证明。

定理2.1证明：部分1）遵从引理2.1。部分3）遵从部分2）和引理2.3-2.4。为了说明部分2），考虑到部分1），我们可以假设，是一个具有量化密度的对数量化器。定义量化误差

(21)

则

(22)

其中是(8)中的。我们可以将量化反馈系统建模作为以下不确定系统：

(23)

相应的二次稳定条件变为

(24)

定义

(25)

其中是独立声明的。注意(21)中的逆映射是一个多分支连续函数（除去）。因此，对于任意的，存在使得。通过引理2.2，(24)相当于

但是，后者是系统(11)通过线性状态反馈达到二次稳定的条件。

注意2.1：[16]中指出粗量化密度与所谓的“昂贵的”线性二次控制问题的解有关

闭环稳定性服从于

更具体的说，最优的可以使用“昂贵的”控制问题的Riccati方程来得出。但是，量化问题的最优控制增益K不同于“昂贵的”控制问题的最优控制增益（这在[16]中也有指出）。从以上证明中，我们看到作为一个的优化问题(20)，可能会更美观的解释粗量化问题，因为它们共用相同的最优控制增益。

注意2.2：我们已经看到了如果需要粗量化密度，对数量化器对于使用量化反馈的二次稳定是必不可少的。非对数量化器是不合适的，比如有限量化器和线性量化器。因此，我们在本文中的剩余部分只考虑对数量化器。

III．采用量化输出反馈的稳定

我们知道证明如何推广状态反馈的技术到量化输出反馈。考虑以下系统：

(27)

其中A和B是相同的，.

我们考虑量化输出反馈的两种可能的基本配置，这可能导致其他更复杂的设置。

4）配置I：控制信号是量化的。测量不是。

5）配置II：测量是量化的，控制信号不是。

在两种配置中，我们都假设控制器是具有有限阶的线性时不变的。结果是两种配置导致不同的量化密度需求。

配置I：这是一个结果有趣的简单的例子。

定理3.1：考虑具有量化控制输入的系统(27)。假设（A,C）是可观察到的一对。那么，通过状态反馈二次稳定的粗量化密度也可以由输出反馈获得。

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