求解线性方程组的迭代法外文翻译资料

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求解线性方程组的迭代法

2 016年12月，里加，拉脱维亚

Mykola Kryshchukb, Jurijs Lavendelsa,*

摘要

早在BS以前，线性方程组就是一个经典的数值方法。在1600-1700，因为可以用它很好的解决方案的技术和工程的任务，出现了一个使用高峰，尽管如此的，一直到现在，仍是热门话题。本文介绍了另一种迭代的方法来解决线性方程组，它是基于对解决方案本身的解决方案的接近点的多个转移，同时减少所有的方程组的差异。

关键词：线性方程组；线性方程组；迭代法；方程组

1. 介绍

一个求解线性方程组的新方法是，在计算技术的出现促进了物理建模的数值方法的快速发展的同时，通过抽样（子划分）的计算范围，以及替换微分操作类似的代数运算。根据最后不同的要求，最后的元素和修改，直接和迭代具有较强的主对角线接近完成很差的对角矩阵方法进行求解。方程组的高效存储的方法在进步，同时考虑到对称性矩阵，根据主对角线的直接和迭代方法。近年来，随着新的数值方法的介绍（超单元，边界元法），已经有一个完全填充的矩阵和一个不具备主对角线的线性方程组求解的必要性。迭代的方法经常被用于解决这样的任务和已经从高斯赛德尔发展过来的方法。

用迭代方法求解线性方程组（如高斯赛德尔方法），涉及一个搜索的每一步未知值的校正，通过减少单个方程的差异；此外，在这一过程中其他方程还没有使用。为了加快迭代过程的收敛性，方法辅之以更好的原则，在迭代过程中的变量变化率的优化。在这篇文章中建议的方法是在每一次迭代的基础上，通过改变系统中的未知变量的所有值，以减少系统方程的差异。关键问题是如何组织迭代过程，即对未知变量进行校正，同时减少所有方程的差异。

1. (b)

图1.（a）根据高斯-赛德尔方法的迭代解，在每一步中都对一个变量进行修正；（b）所提供的迭代解方案-所有的变量在每一步中都被校正。

最初，要先查看两个方程组的解决方案，然后将其推广到通用的方程。

二方程系统方法的本质

假定初始近似解（x，y）P0。它可以很容易地表明，任何点P（x，y）在XY平面的方程系统的解决方案，比如投影P（x，y）的方程。随后，为了解决方程组，下面的迭代过程可以实现：

接近PI（x，y）投影的方程被发现，x中点（或算术平均值）被假定为新的接近，之间的预测的点皮（XI，Y1）的系统方程A和B 的迭代的重复的校正

在求解迭代线性系统的情况下，点P（x，y）移动一步–P0（x0，y0）步，P1（x1，y1）1，P2（x2，y2）2，hellip;-直到找到一个特定的状态，其中足够接近的线性方程组的解是R（x，y）。由于寻求的解R（x，y），拿最接近的进行评估，例如，通过施加近似的解决方案中的方程和评估的差异，确定的接近不再在迭代过程中的变化等。

图2.在迭代过程中的当前邻近位置

很容易证明在一个正常的方程组中，在每一步的方式作为结果的迭代解的距离不会改变，系统分辨率发生X的迭代过程的收敛速度取决于方程的特征或两个维度是角由方程案件的范围提出的迭代过程的解决方案，x如果方程是矛盾的（线接近平行），该过程将不收敛，就没有解X与流行的方法，这种方法对方程的系统–的主对角线优势并不明显的矩阵没有严格要求NT的接近的解的增加，其方向是接近最优，但长度通常是小于最佳的，在每次迭代确定，它是必要的开发方法，用于校正的接近的解的增加。

三.大系统的方法

审查的方法很容易适用于任何最终数量的方程。在两个维度的情况下，几何方程是一条线，但非矛盾方程组有两条相交的线，从而形成4个角度。迭代解的过程只发生在一个角度。在三个维度的情况下，一个方程是一个几何平面；非矛盾方程系统是三个平面，所有这些相交彼此。迭代的过程中发生的金字塔内的表面是由三个平面方程和金字塔的顶点搜索。有8个金字塔，其中只有一个金字塔的解决方案是解。在更多的维度的情况下，方程是一个n维超平面，其中n是方程组的层。对方程组的非矛盾的系统是n-hyperplanes集所有相互交叉。迭代求解的过程发生在hyperpyramid的超曲面是由n-hyperplane方程和金字塔的顶点搜索。在四个和更多的尺寸的情况下，它是不可能想象的情况下，以图形为主题，但所有的数学方法和公式仍然存在。

图3.方程组特征迭代过程收敛速度（迭代步长）的依赖性

在任意维数的情况下，点P（P1，P2）的投影坐标，hellip;超平面上的PN）：

在任何数量的尺寸的情况下，接近新的坐标值作为该接近以前的投影平面的算术平均。

四迭代过程中邻近点增长的优化选择

方程组解的接近度的变化缓慢收敛，通过上述方法，因为在一个单一的迭代步骤中，计算出的接近坐标的增加是低于最佳（最大允许）。

在保持计算方向的同时，确定解的接近度的最佳增长是一个常数问题。因子C的最佳值的确定需要过多的计算，并有必要计算所有方程的差异，在每一个步骤的方式。一种确定的最佳值的C，而不需要过多的计算方法尚未开发。因子C可以通过逐步增加C值和计算方程的差异来确定；如果方程的任何一个差异改变了它的符号，则表示因子C已经超过其允许值。此外，经验确定，一定的最佳C值可以应用在一些迭代。

图4.接近最优选择，估计增长，C优化因子

五结论

另一种迭代方法求解线性方程组已被提供，它是基于同时最小化所有无效的链接方程。给定的方法主要不施加任何要求的方程系统。认可的方法已经完成，证明了该方法是完全有效的，但是，在每次迭代的方法的分布需要大量的计算。减少计算量是一个单独的研究问题。有趣的结果已经取得了，但需要进一步的工作，以发展和完善的方法。

参考文献

1. Demidovich B, Maron I. The basics of numerical methods. Moscau: Nauka; 1970. (in Russian).

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4. Heck A. Introduction to MAPLE. Springer-Verlag; 1996.

5. Trott M. The Mathematica guidebook for numerics. Springer Science; 2006. 1208.

6. Available: https://estudijas.rtu.lv/course/view.php?id=38111.

Mykola

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