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外文翻译译文

皮层厚度分析的统一统计方法

Moo K. Chung1，Steve Robbins2和Alan C. Evans2

1威斯康星大学麦迪逊分校统计系

2加拿大麦吉尔大学蒙特利尔神经学研究所

mchung@stat.wisc.edu, {stever, alan}@bic.mni.mcgill.ca

摘要：本文提出了一个统一的图像处理和分析框架皮质厚度表征临床人群。重点放在数据平滑和分析框架的开发上。人脑皮质是一个高度复杂的表面。由于复杂的非欧几里德表面几何形状，皮质上的数据平滑和分析本质上是困难的。当测量位于曲面上时，基于沿表面的测地距离而不是欧几里德距离来分配核平滑权是很自然的。我们提出了一种新的数据平滑框架，它可以隐式地解决这个问题，而无需实际计算测地距离并显示其统计特性。之后，统计推断基于随机场理论的多重比较校正。作为一个例子，我们已经应用该方法检测16名高功能自闭症儿童的皮层厚度异常区域。

介绍

人类大脑皮层具有平均厚度为3mm的2D高度旋绕的灰质壳的拓扑结构。灰质壳的厚度通常称为皮质厚度，并且可以从磁共振图像（MRI）获得。皮质厚度可以用作量化皮质形状变化的解剖学指标。在这里简要描述的一系列图像处理步骤之后获得厚度测量值。第一步是将每个体素分为三种不同的组织类型：脑脊液（CSF），灰质和白质。CSF /灰质界面称为外皮质表面，而灰/白质界面称为内皮质表面。这两个表面束缚了灰质。表示皮质表面的主流方法是使用由可变形表面算法构造的精细三角网格^{[10] [14]}。通过计算两个三角形网格之间的距离来估计皮质厚度^{[11] [14]}。在我们的研究中，我们使用了^[14]中提出的方法。为了比较受试者的皮质厚度测量值，有必要通过表面配准算法对齐皮质表面^{[16] [20]}。对于对象之间的交叉比较，将表面登记到用作参考坐标的模板表面中。

预计图像分割，厚度计算和表面配准程序会在厚度测量中引入噪声。为了增加随机场理论的信噪比（SNR）和数据的平滑性，需要某种类型的数据平滑。对于3D全脑MRI，高斯核平滑被广泛用于平滑数据，部分原因在于其数值实现的简单性。高斯核根据其欧几里德距离对观测值进行加权。然而，驻留在复杂脑表面上的数据在欧几里德意义上不是各向同性的。在曲面上，两点之间的直线不是最短距离，因此可能会错误地将更少的权重分配给更近的观察。因此，当观察位于皮质表面上时，根据沿表面的测地距离分配权重更自然。之前已经开发了扩散平滑，用于在基于随机场的多重比较校正之前沿着皮层平滑数据^{[1] [6] [7]}。通过求解流形上的扩散方程，可以间接推广高斯核平滑。虽然扩散平滑已经在^[15]开始的图像分析中得到广泛应用，但之前的大部分工作都是关于表面整流^[19]。很少有出版物能够消除表面上定义的数据分析^{[1] [3] [6] [7]}。先前扩散平滑方法的缺点是需要设置有限元方法（FEM）以数值方式求解扩散方程并使算法收敛^[6]。为了解决这个问题，我们基于流形上的热核卷积开发了一种更简单，更有效的方法。作为说明，该方法应用于自闭症和正常受试者组，并且我们能够检测组之间统计学上显着的皮质厚度差异的区域。

热核平滑

皮质表面可以假设为的黎曼流形。设是的参数表示。我们假设厚度测量Y的以下模型：

（2-1）

其中是平均厚度函数，是零均值随机场，可能是高斯白噪声过程，具有协方差函数。Laplace-Beltrami算子对应于表面参数化

（2-2）

由下式给出：

（2-3）

其中是黎曼度量张量。求解方程，我们命令特征值0 =le; le; le;...和相应的本征函数

图1.顶部：皮质厚度的热核平滑，sigma;= 1且k = 20,100,200次迭代。下图：在sigma;=1且k = 20,200,5000次迭代的模拟数据上进行热核平滑。

从12个正常受试者数据估计平均厚度和方差，并将高斯白噪声添加到平均函数, ，hellip;。特征函数 形成的正交基（），即在上定义的函数的 空间。在单位球上，特征值为m（m n-1），相应的本征函数为球谐函数（）^[21]。在任意表面上，特征值和特征函数的显式表示只能通过数值方法获得。

基于标准正交基，热核Ksigma;（p，q）分析给出为：

（2-4）

其中sigma;是内核的带宽^{[2] [17]}。当gij =delta;ij时，热核变为高斯核，这是N（0，sigma;2）概率密度。高斯核的自然延伸。这可以解释为各向同性扩散过程相对于表面积元素的转移概率密度^[22]。核是对称的，即（p，q）= （q，p）并且相对于测地距离d（p，q）是各向同性的。

定义1.热核平滑皮质厚度Y是卷积：

（2-5）

图2左：在sigma;= 1的热核平滑迭代次数上绘制的主体内方差。减小方差意味着热核平滑与平均厚度的收敛（定理4）。右：主题间方差绘制在迭代次数上。

说明定理5它可以用基函数扩展来编写：

（2-6）

其中我们还定义了热核估计器对于未知信号为，当 0时, 成为狄拉克函数，所以热核估计变为了无偏估计0，当增大时，有偏估计增大，然而所有皮层的总偏差总是为0，即，，让我们列出热核平滑的重要性质。

定理一：是当时间时下列各向同性扩散方程的唯一解。

（2-7）

这是一个众所周知的结果^[17]。该定理意味着热核平滑在part;Omega;上各向同性地分配权重。

定理二：

（2-8）

证明可以在^[5]中找到，这表明热核平滑可以表示为流形上的回归。

定理三：

（2-9）

这可以看作是扩散的尺度空间特性，从定理一，可以作为信号在

时间之后的扩散使得在时间之后信号Y的扩散，于是：

（2-10）

总的来说，我们可以看到一般的声明成立，我们将k倍的迭代核表示为：

（2-11）

这是我们迭代热核平滑的基础，具有大带宽的热核将通过较小带宽迭代地应用热核平滑来执行，对于实例热核迭代平滑，用和将生成热核平滑，有效带宽,14.14，图一显示了迭代热核平滑的过程。

定理四：

（2-12）

这里是的总面积，该定理表明，当我们选择大带宽时，热核平滑收敛到part;Omega;上的数据样本均值。图1（下图）显示了带宽增加时热核平滑与受试者内平均皮质4mm的收敛。图2（左）显示了受试者内部方差的收敛间接暗示Ksigma;，Y收敛于一个常数，即皮质上的平均厚度。当p和q离开时，假设测量Y（p）和Y（q）具有较小的相关性是很自然的，因此我们假设协方差函数为

，对于某些非递减函数。然后我们就可以展示热核平滑的方差减少特性。

定理5：

（2-13）

图2（右）显示了随着sigma;增加，主体间差异减小。

热核在任意表面上平滑的问题在于热核的显式分析形式是未知的。为了解决这个问题，我们使用热核的参数展开^{[17] [22]}：

（2-14）

对于小d（p，q）。这种扩展说明了内核对于小带宽的确切形式。当度量标准为平坦时，热核变为高斯核，再次确认热卷积是高斯核的推广。膨胀是我们的热核平滑配方的基础。具有大带宽的热核平滑将被分解为迭代内核平滑。

图3.将厚度图投影到单位正方形上。左：原始嘈杂的厚度图。右：加热内核平滑，sigma;= 1，k = 200次迭代

我们将使用第一顺序截断并标准化热核术语。对于每一个，我们定义

（2-15）

其中1Bp是在包含B的小型压缩域上定义的指示函数，使得如果qisin;Bp 则1Bp（q）=1， 否则1Bp（q）= 0。注意，对于每个固定的p，Ksigma;（p，q）定义B中的概率分布p 并且它收敛- 于Ksigma;（p，q），如B中的sigma;→0p 这意味着

（2-16）

对于离散三角形网格，我们可以将Bp作为一组包含p及其相邻节点q1，qm的点，并对Bp进行离散测量，这仍然是概率分布。这可以看作是高斯核Nadaraya-Watson类型的平滑扩展到流形^[4]。图3显示了扁平厚度图，说明了热核平滑如何通过增加信噪比来增强厚度图案。

1. 皮质流形的随机场理论

在这里，我们将描述如何使用随机场理论对part;Omega;进行多重比较。基于随机场理论的方法被广泛用于校正3D全脑体积中的多重比较，但很少用于2D皮层流形^{[1] [7] [8] [24]}。首先，我们将自闭症和自闭症结合起来

图4.中央和上颞沟的自动生成痕迹[3]。第一列显示为模板表面生成的跟踪。第二列显 示了在任何表面标准化之前基于149名正常受试者进行的粪便匹配概率。第三列显示表示归一化后的概率。第一行是左半球，第二行是右半球。注意，分布在空间上更加集中， 并且在归一化之后匹配概率要大得多

在单个索引j中控制受试者并在受试者j的皮质厚度Yj 上建立一般线性模型（GLM）：

(3-1)

这里虚拟变量组对于自闭症受试者是1而对于正常受试者是0。体积是受试者j的总灰质体积。通过计算由外表面和内表面限定的体积来估计总灰质体积^[8]。该误差被建模为平滑高斯随机场，被视为具有高斯白噪声的热核卷积， 即。lowast; 然后我们通过执行假设检验来测试组差异：

（3-2）

（3-3）

图5.标准化后，对于39个手动识别的中央沟进行沟槽匹配的可能性，其定义为由回旋围绕的表面区域，而不仅仅是眼底，视图在模板皮质表面的略微打开的版本上示出，以便更好地观察沟内。2D的翘曲将中央沟几乎完全定位在模板中央沟内。左（右）图是左（右）中央沟

检验统计量是残差误差平方和的比值，在H0下，检验统计量是F随机字段，其中随机字段为1，自由度^[23]，零假设是假设的集合的交集，对于每个固定的p，然后给出多重比较的一类错误

（3-4）

对某些人来说。得到的p值通常称为校正的p值。的分布渐进给出为：

（3-5）

图6.修正了F-test的p值图，消除了投影到平均外（顶）和内表面（底部）上的年龄和相对灰质体积差异的影响。它显示了两组之间相对不对称的厚度差异

其中phi;d 是part;Omega;的d维Minkowski泛函，rho;d 是F =场的d维欧拉特征（EC）密度，和自由度[23]，Minkowski泛函是

模板皮质的半面积，BC密度由下式给出：

（3-6）

其中lambda;测量场E的平滑度，并给出为lambda;= 1 /（2sigma;2）。得到的F场的校正p值图如图6所示。校正的p值图的主要用途是厚度差的定位和可视化。

1. 应用

对16名孤独症患者和12名对照受试者进行T1加权磁共振扫描。他们都是右撇子男性。16个autis- tic受试者被诊断出患有高功能自闭症（HFA）。对照组的平均年龄为17.1plusmn;2.8，自闭症组的plusmn;平均年龄为16.1plusmn;4.5。^[5]中提供了数据plusmn;集的完整描述，图像采集 参数，后续图像处理程序以及对结果统计参数图的解释。每个图像都经历了几个图像预处理步骤。使用非参数非均匀强度归一化方法^[18]校正图像强度不均 匀性。然后使用自动图像处理管道，使用全局仿射变换将图像在空间上标准化 为蒙特利尔神经学研究所（MNI）立体定位空间。随后，基于监督人工神经网络 分类器的自动组织分割算法被用于将每个体素分类为脑脊液（CSF），灰质或白质^[13]。脑干和小脑等脑子结构被自动清除。通过可变形表面算法^[14]获得内外皮层表面的三角网格。这种可变形的表面

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