最大值和最小值一个变量外文翻译资料

最大值和最小值一个变量

第11章

最大值和最小值一个变量

找到一个最大值或一个最小值显然在日常经验重要。制造商希望最大化利润，承包商要尽量减少自己的成本去做好的物品，和一个物理学家希望找到的波长的确产生最大强度的辐射。

即使是一个垄断制造商不能收取很高的性价比最大化的利润，因为在某些时候，消费的消费者会停止购买。她力求找到一个供需之间的最佳平衡。从日常经验上看，这些用直观方法找到的最佳，在许多情况下可能并不是最正确的。这些问题通常不是简单的，经常被他们甚至含糊不清。积分可以提供帮助。它可以解决封闭形式的问题，并提供指导时，数学模型是不完整的。很多科学和工程的成功是基于寻找象征最优的精确模型，但没有人假装知道国家健康状况和类似的有趣的封闭形式的模型，但事实上日常生活就是如此复杂。

本章开始用一些基本的数学理论，然后看一些“简单”的应用程序。就生活中的那些大问题而言，他们是简单，但仍然是数学里的一些挑战是。他们可能不会成为主要的“真实世界”的启示，但是它是一个开始，并具有一定的现实意义。在这个过程中，我们不是从我们的基本理念撤退，这是为了告诉你什么是好的演算。我们认为你知道的优化是非常重要的，所以我们将从简单的部分开始：数学理论。 （哎，你看，但它确实是容易的部分。）阅读理论很快，尝试应用程序，然后回来这个理论需要。

1. 图形最小

我们从图形的最大开始。

我们希望做一个框方形底座，也没有顶部。我们需要框来容纳百立方英寸，并希望使出来的纸板尽可能少的。我们应该使用什么尺寸？

h

s

s

面积用边长表示的函数的曲线图显示在图 11.1:1.

Figure 11.1:1: 面积用边长表示的函数

很显然，在图11.1的图形：1，函数降低随着从0至约5.8的增加而减小，之后，函数随着S增加不止于此。因此，最低出现在s约为5.8，h约为2.9时。下面的练习要求你通过这种推理来完成任务

到目前来看，这个例子不言而喻是好的，但我们会看到没有计算可以告诉我们更多。A最小化与s的值很容易在图上看到，但值只能大约读取。当你通过练习，思考如何计算能帮你确定图形的形状和特别的点,尤其在该点从下降到上升的曲线变化的。

练习Set 11.1

(a)一个框具有开放顶部的盒子，体积100立方英寸方形，底座的面积由下式给出

其中，s为底座的边长。 （提示：百立方英寸的体积可以在用长度，宽度和高

度表示，V = l w h, but l = w = s and V = 100, so 100 = hs².。每块的面积是hs = ¹⁰⁰_s ,代替

h = ¹⁰⁰_s2 .)

1. .一种方法是绘制 和z = s²，在相同的图上然后绘制Y Z的曲线图。使用相同的尺度0 lt; s lt; 10.你可以用电脑，如果你想检查你的图形。 （用或不用电脑，我们怎么知道它该使用的刻度？）
2. 固定s使得A的面积最小的s
3. 图的斜率是多少， [s_m] 的值是多少在点 s_m?

1. 临界点

你应该将最大最小理论作为一个通过图像的粗略简便的方法。如果你有一个“完整”的图，你可以看看，看看哪里会出现最大值和最小值（假设所有的特征出现在同一的刻度）。

即使有一个适当的比例图，你还可能想要计算最大值或最小值通过符号公式。很多科学成果依赖一些参数得到了最大或最小一个的象征性表达方式。我们将在本章的最后几个项目看到使用这种想法一些例子。 （见普朗克对维恩定律的推导或共振频率或有着项目书的陷波滤波器。）

图 11.2:2: 向上, 平着, 向下

通常你不需要整个图形（这往往是很难计算），以找到一个最大或最小。 例如，如果你知道一个函数f(x)有微观斜率表，从有向上斜率x= 1开始持续到x= 2，然后有一个向下的斜率，直到x = 3，你会知道，在1le;xle;3时，f(x)的最大值在x = 2，使用微观斜率表勾画这样一条曲线。

函数的最小在哪里取到呢？ 你需要更多的信息，但只有一点，，它不能在x = 1或x =3，但它可以在其它任意的x。 为什么呢？ 这是显而易见的。想想看，并用显微表格绘制出两个图了的上下波动，一个具有最小值在x =1，而另一个具有一个最小值在x =3。端点或缺乏端点在最大-最小理论中发挥重要的作用。 你会学着去寻找他们的应用程序，因为他们简化这样的问题。

图11.2：3：最小值在不同的端点

数学家对技术术语的确切含义是非常挑剔的。当我们说函数f(x)在x = 0所有真正的x达到其最大值，这意味着，对于所有的x，都有 f(0) ge; f(x)。这是非常合理的。 在图11.2:4中,函数f(x)=在x= 0取到最大值。日常的谈话中，我们可能会说，这个函数的最小为y=0，但这不是数学的习惯用语。当x趋向也 infin; 或minus;infin;时，f(x)趋向于0，这是真实的，同样的，对于所有的x，f(x)gt; 0，但是，由于实际上f(x)]从未取到零值，我们就说f(x)不具有最小。也许更好地说法是，它没有能够取到最小。

y

x

图 11.2:4: 有最大但取不到最小

极限值不完全都是难题。在图11.2:5中，函数g（x）=既有最大值也有最小值也有极限值。准确说来是，还有点x_min 和 x_max满足对于所有其他的x，y_min = g[x_min] lt; g[x] lt; g[x_max ] = y_max。在曲线图上，我们可以发现这些点：（x_min，y_min）和（x_max，y_max）。

预先分配端点简化了最大-最小理论：因为端点排出了限制现象。我们将在下一节讨论这个问题。现在，我们要探讨的“临界点的状态。”对于这部分的问题是，“什么样子的图形坡会有最大值或最小值？”答案是明确的图形，除非有条件。

接下来的结果排除了很多可能会是最大值或最小值的地方。这排除点法是正确的。它不会告诉你最值点在哪里，他们都没有。它通常列明以下逻辑是正确的，但方式令人困惑，但它意味着我们只需要检查点x₀，这样 () = 0可能是最大或最小。这些点是在我们调查研究极值的 “关键”，但他们可能是也可能不是极值。

y

x

图 11.2:5: 取到最大值最小值

定理 11.1内部关键点

假设在某个区间，f（x） 是一个光滑的 函数. 如果在此区间存在某个点x₀ ，在该点上f（0）有最大值或最小值，那么 () =0.

证明:

我们给一个几何证明. 设 () 0.我们知道， 我们可以看到一条斜率为 ()0的直线，如果我们可以在一个强大的显微镜下看这个图.现在，如果我们可以将x0向两侧移动甚少量，然后我们就可以让f（x）都比f（）较大和较小，通过向左右两边都移动。 如果X0是间隔超过我们最大化或最小化的内部，则X0不能是最大或最小。

(这个证明是正确的, 但我们可以在上面阐述一些. I如果 () = 0, 那么在一个包含点 x0.的区间上，f(x) 是增加或减少 。这是直观清晰的，如果你想着寻找一个显微镜，并看到斜率 () =0的线性图，但你还可以在泰勒公式项目代数证明这一点。）

这个证明是通过逆否命题法来完成的。逆否命题？ 为什么不找 () =0，将它设为零，来解决的问题。然后该解决出来的就是最大和最小。为什么不呢？因为所做的是错的。请注意，该定理的证明只是比何处不能取到极值的反陈述多一点而已。这样的定义可能会造成混淆，我们要明确的是这个定理不是说，“如果 () = 0，则x₀是最大的或最小的。”从逻辑上讲，A可以推出B并不意味着B可以推出A。

在日常生活中，正确的推理是非常重要的，同样的，在数学中也非常重要。该定义的逻辑可能会造成混淆 。而这正是日常结论中的错误的：A可意味着B等价于B也意味着A.让我们来看看为什么会这样。 “如果下雨，那么就一定有云朵。”

是一个正确的说法。

A rArr; B

其中A代表“下雨”和B代表“有云。”当然的，

B rArr; A 是假的

因为B rArr; A 说的是 “如果有云彩，那么会下雨”。

一语道出含义是

A rArr; Bequiv; (notA) or B

这是一个有趣的思考这个问题的方式，但它是等价的。当A为真，寓意是指B也必须是真实的。当A是假的，B可以是真或假。其他的语句有相同的特性，所以它是等效于含义。如果A是真实的，所以另一部分的非A是假的，另一部分的“或”必须真实，B为真实的，如果A是假的，另一部分的非A是真实的;所以B可以是真或假。

现在，我们可以做一些逻辑计算来看这个逆否命题

A rArr; B equiv; (notB) rArr; (notA)

因为（notA）或Bequiv;（not notB）或（notA）。

练习Set 11.2

1. 在 minus;1 le; x le; 2上，找到函数f [x] = 3minus;2x的最大值和最小值. 在图y = f [x]上这些点哪些是拐点画出图，并标明最大值和最小值

2. f [x]在minus;1 le; x le; 2上找出函数f [x] = x3的最大值和最小值. 画出图. Is () =0 是最大值或最小值吗? () =0在哪里?

3. 在内部临界点定理 11.1，. A代表“F[X]有一个极值在区间的一个点x0 “和B代表”f 0的[X0] =0“的逻辑语句的形式A rArr;B.举一个函数例子表明，在这种情况下BrArr;A是假的。

4. 设B是 “ () =0”。设A“f [x0]是在区间内的一个极值。 “内部临界点定理语句中的 A rArr; B上面是A与B.现用英文陈述逆否定理(notB) rArr; (notA)

5.在练习11.1.1, 你发现一个方形没有顶部的盒子，底座框面积

(a) 证明当且仅当s 取s0 = radic;3 200 asymp; 5.84804的值时，在A与s的斜率图取零.

(b) 请给图做个斜率表（如第9.3节）

(c) 解释为什么你的计算和形状表能证明最小值出现在s = s0 = radic;3 200 and A = 60 radic;3 5 asymp; 102.599

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