待定系数法及其应用——待定系数法在初中数学中的应用外文翻译资料

待定系数法及其应用——待定系数法在初中数学中的应用

数学应用数学(师范) 阙珍妮 指导老师：李祖全

外文文献1：

对的简单证明

1. 引言

从最近一个月的期刊中对如何解决这一问题的进程里，我发现需要用到公式：

， （1）

其中是欧拉常数。我能在积分表发现这个公式，但我对它的来源非常好奇。

式子（1）看起来非常的重要。事实上，对于来说，我们有

（2）

再结合式子（1），我们可以发现。这通常是通过忽略积分并计算明确含有的在时的导数来证明的。这个方法曾被惠特克和华生等尝试并成功过。

1. 论据

通过研究，我发现了一个简单的，不需要借助在式子（2）的基础上的伽玛公式以及式子的证明公式（1）的方法。

对式子左右两边同时求导，我们有

，

这就简单证明了对于任意正整数来说，都有

（3）

由于是在上相对于权重函数的加权平均值，并且当时，它有最大值。因此我们可以猜想这个加权平均值会在某处与无限接近。事实上，它的结果会在和之间。为了证明这一点，首先我们可以观察到是的导数，因此，由中值定理，我们有

，

然后，我们可以证明在上是单调递增函数，即

。

再结合式子（3），我们可以知道

。

令，则有。

外文文献2：

课堂训练在促进代数推理能力方面的作用

摘要

我们提出了一个案例研究的结果，检查了一个有课堂实践经验的三年级老师，她是一个参加了长期的专业发展项目的LED作者。我们的目标是探索以什么方式和什么程度的老师能够建立一个课堂，支持学生的代数推理能力的发展。我们分析了她1年的课堂教学（包括她集成代数推理以及正规课程日常教学和随后的对学生的原因代数能力的影响）来保证结果的可靠性。我们把代数推理类型的多样性、其整体性，以及对学生代数推理能力的发展提供技术支持的教学实践
来建立代数推理。结果表明，教师在有计划、有组织地进行课堂教学活动时，是能够整合代数推理，并积极促进学生代数推理能力的发展的。

关键词：代数；专业发展；教师教育；教师（特点）；教学实践

从历史上看，数学的经验（和因此的课堂实践）大多数小学教师集中在算法与计算流利。然而，现在被广泛接受的制备的小学生新世纪的日益复杂的数学会需要不同的类型学校的经验，具体而言，一个培养思维习惯，参加数学的深层结构。反思在基础教育课程与教学的类型等级这有可能影响到越来越多的LED识别代数推理。同时可以从增强小学到高中的数学。事实上，传统的教学和课程的小学算术教学实践中心程序，其次是一个很大的操作方法在代数中的成绩之后，在学生成绩方面取得成功。整合代数推理主要是为等级提供了一种替代那建立概念发展更深和更复杂的数学学生的经验，从一开始。

代数推理的多维视角

我们把代数推理要在这一过程中，学生推广从一个特定的情况下，数学思想，建立这些概括通过论证的话语，并表达他们越来越正规和年龄方法（坏了，1995；1999）。例如，学生参与在代数推理当他们第一次描述握手总数一组具体的尺寸，在团体中的每个人和每个人手有一次，然后进行发展和表达的推广描述对于任意一个握手总数大小组。根据学生的经验水平，推广可能表达在言语或符号，可以根据学生的一个递归模式的观察描述如何握手，明年的总从目前的一个，或一个函数关系在人数和总金额握手（例如，“握手”的总数是数字的总和

“1”上升到一个小于的人数，”或“总数对于N组人握手是n次n - 1除以2）。同样，学生使用代数推理时，基于系统分析具体的情况下，他们概括对任意的总和校验奇数和偶数的数，或当他们识别和表达一个数字系统的性能，这样的

随着添加的可交换性的全数字。

如上述例子说明，和其它地方已经描述了（坏了1998；1999），代数推理可以采取各种形式，包括：

1. 使用算术表达和形式化的概括一个域（广义算术）；
2. 将数值模式来描述功能的关系（功能性思维）；
3. 建模的形式化表达和域概括；

（d）提到的数学系统从抽象的计算和关系。

根据（a），我们的意思是推理关于操作和性能相关的数字，如概括了交换性质对零乘法或性质，或理解平等的关系量之间的。推广了数值模式涉及的探索表达规律数字，如描述的增长模式概括总结或连续的号码。以类似的方式，建模的一种形式。代数推理还包括概括规律，但从数学化的情况或现象的规律本身是次要的大建模任务。最后，虽然小学课程较少，推广抽象对象和系统涉及的操作类

对象和更传统的描述“摘要”这四种形式的代数，广义的算法和功能性思维是在小学更常见的形式的代数推理等级。

有越来越多的研究机构，旨在了解教师和学生代数和确定课堂实践的各种原因福斯特代数推理。特别是，许多学者都记录在案，从多样性的社会经济和教育背景的学生的能力进行代数推理，主要集中于广义算法和功能思维方式的发展，消除限制之前对青少年学生实施（例如，木匠和弗兰卡，弗兰卡，和木匠，2001；

利维，2003；·卡拉赫和认真，2003；·卡拉赫，布里祖拉，amp;谢里曼，2000；福克纳，利维，木匠，1999；基兰，梅森，1992；1996；希夫特，1999）。在这些形式的代数推理，我们自己的工作（见，例如，布兰顿，坏了，2003，2004，2005）关注功能思考的过程该算法的任务转化为机会推广数学模式和关系的变化一个单一的任务参数（例如，的在一组人数，或T恤的数量购买）。

虽然研究引到这里一般需要一种代数推理在学生的原因特定的量来建立数学概括，也有新兴的新研究从Davyd Oviian（1975a，1975b），采用传统数学的探索通用性本身（而不是数的细节）作为一个跳板建立学生数学结构的认识（多尔蒂，2003）。在这种方法代数推理，学生开始通过比较抽象的数量措施（例如，长度，面积，体积），缺乏量化，为了发展关于这些措施的一般关系（例如，平等的传递性）。

教师想要优化对待定系数思想方法的教学，首先就应该树立树形结合思想的教学意识，并将这样的意识落实到教学的每个环节中，正确把握待定系数思想方法的教学目标。数学教学中的重点往往就是需要运用数学思想方法之处，同样的教学难点也通常需要数学思想和数学方法来解决，因此教师应该着重关注教学重难点，找出其中需要运用待定系数思想帮助理解和记忆的重点以及需要用待定系数法来化解的难点，这样教师才能够更为自然地在教学过程中渗透待定系数思想，而不是生硬地教学，强制性地记忆。

接下来就来说一说在教学中渗透待定系数法的途径。首先，教师应该在概念教学中渗透待定系数法。众所周知，概念学习是知识学习的基础，中学教学中的每个概念都有着感性到理性的抽象概括过程。然而，概念却往往是学生在学习数学的过程中最容易忽略的一部分，因此教师必须从基础抓起，加强对学生的概念教学，抓住时机从中渗透待定系数法的思想。其次，教师可以在解题思路的探索过程中巩固待定系数法的思想。解决数学问题不仅需要扎实的基础，更要有解题思路的引导，教师可以在解题过程中引导学生利用待定系数法的思想，多方面、多层次、多角度的思考一个问题，探索不同的解题思路。最后教师可以在常规问题的解决中帮助学生掌握用待定系数法解题的方法和策略，在实际问题中形成使用待定系数法的意识。

数学知识和方法是具有某种形式的，但数学思想只是一种观念，一种意识，很多时候我们会觉得它不像知识和方法那样具体直观，往往他是抽象的，无形的。因此数学思想不是一朝一夕就能够完成的，只有经历反复的渗透，才能逐渐感受到它的形成。因此教师应该把待定系数法思想的渗透设计在教学的各个环节中，例如日常教学过程、解题训练过程以及复习过程中，要以细水长流的方式让待定系数法的思想时刻环绕在学生的数学学习中，而不是刻意的，集中性的训练。总之教师要做有心之人，深入钻研教材，有目的、有计划的进行系统教学。让待定系数法思想始终贯穿在教学过程中，让学生逐步形成该思想，并使之成为学习、运用和创造数学的有力工具。

我们在教学中应重视数学思想方法的教学，通过授之以渔达到最好效果。心理学家也指出“人们在学习和思考时，注意力要在高层次的策略性知识与低层次的描述性知识及程序知识间不断转换，不仅要意识到自己的加工材料，而且要意识到自己的加工过程和加工方法，不断反省自己的策略是否恰当，并优化自己的加工过程。”

要使学生形成发现问题并且解决问题的能力，还能自觉地进行反思，归纳和总结，学生头脑中除了必须储存相关的知识与技能外，还要储存有关如何学与如何解决问题的一般和特殊的策略性知识。数学思想方法是重要的策略性知识。要注意化隐为显地进行数学思想方法教学，避免机械化、模式化。

总之，待定系数法是一种非常重要的数学思想方法，在数学教学过程中不仅要将这种思想方法的理论知识讲解透彻，更应该重视将这种思想方法渗透到学生的脑海里。同时它既在初中的因式分解和函数等题型中有着举足轻重的地位，又将会在以后的学习过程中表现出它独特的魅力。

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