基于非标准Lagrange函数动力学系统的共形不变性开题报告

1. 研究目的与意义

背景：标准Lagrange函数又称非自然Lagrange函数，其相较于标准Lagrange 函数不涉及动能和势能的明显区分。非标准Lagrange函数的思想可以追溯到1978年Arnold的工作。近年来，关于非标准Lagrange函数应用的研究已取得一系列重要成果。Musielak研究了耗散系统中获得非标准Lagrange 函数的方法及其存在的条件，而依赖于时间和空间的耗散系统还有待进一步研究。El-Nabulsi研究了非线性动力学系统基于两类非标准Lagrange函数的作用量及动力学方程，使得非线性问题更易于描述。在宇宙学方面，非标准Lagrange 函数也扮演了重要角色，Dimitrijevic 等将非标准Lagrange 函数应用于现代宇宙学模型中，研究了其运动微分方程。El-Nabulsi应用非标准Lagrange 函数于Friedmann- Robertson-Walker时空中，讨论了其在宇宙学中的影响。基于此，还可将Lagrange 函数幂函数型非标准Lagrange 函数应用于Friedmann-Robertson-Walker 时空。相较于由标准Lagrange函数建立的动力学方程都为二阶线性常微分方程，基于非标准Lagrange 函数的动力学方程一般为非线性微分方程，因而研究非标准Lagrange 函数动力学有可能将经典分析力学精美的积分方法应用于解决非线性动力学问题，为研究复杂系统动力学提供了一种新的思路。

目的和意义：标准Lagrange函数是动能与势能之差，而非标准Lagrange函数形式更一般，科学和工程领域的很多非线性或非保守动力学问题可以借助于非标准Lagrange函数用分析力学理论和方法来研究和计算，而约束力学系统的对称性与守恒量问题是分析力学研究的一个重要方面，因而基于非标准Lagrange函数的动力学系统的对称性与守恒量研究具有重要意义。

2. 研究内容和预期目标

内容：进一步研究基于非标准lagrange函数的动力学系统的共形不变性及其与noether对称性、lie对称性之间的内在联系等。

预期目标：

（1）综述约束力学系统的共形不变性研究、基于非标准lagrange函数的动力学研究的历史与现状，提出需进一步研究的问题；

3. 研究的方法与步骤

研究方法：

查文献，阅读相关书籍。

步骤：

4. 参考文献

[1] 叶敏，肖龙翔.分析力学[j].天津：天津大学出版社，2001

[2] 梅凤翔.李群和李代数对约束力学系统的应用[m].北京：科学出版社，1999

[3] 梅凤翔.分析力学[m]。北京：北京理工大学出版社，2013

5. 计划与进度安排

3月13日-3月19日 文献检索，提交开题报告

3月20日-4月16日 论文研究，提交外文翻译初稿

4月17日-5月21日 论文研究，提交论文初稿