积分因子方法对分析力学的应用开题报告

1. 研究目的与意义

随着近代科学的发展， 对复杂力学系统的积分求解显得越来越重要，各个力学系统积分求解方法的探索与应用是近年来国内外研究的热点之一，并且在一般完整系统、非完整系统、birkhoff系统等约束力学系统的求解方法上都取得了一系列重要成果。

1918年德国女数学家e.noether讨论了在时空无穷小单参数变换群作用下hamilton作用量的不变性，揭示了力学系统的对称性与其守恒律的内在关系。基于作用量在无限小变换下的不变性得到守恒律是近代研究力学系统守恒律的主要方法。1984年，djukic提出了构造非保守力学系统的守恒律的积分因子方法，即通过正则方程乘以适当的积分因子来直接构造系统的守恒律。积分因子方法由于其限制条件少，容易计算的特点，因而在寻求各类约束力学系统的守恒律上具有很大的应用价值。如今，将积分因子方法应用于力学系统的守恒律的研究已经取得一系列成果。

非完整动力学系统运动方程的积分理论是一个十分困难的问题，具有非完整约束的力学系统, 其运动方程的积分理论还远远不如完整约束情形那样完全. 究其原因主要有二. 其一, 非完整力学的方程结构, 要比通常完整系统的lagrange方程的结构复杂得多. 特别是, 非完整系统不能用状态和时间的单一函数来表征(指在广义坐标下).其二, 非完整方程在一般情况下没有不变度量.近几十年来, 引起了众多学者的关注，积分非完整动力学方程的最普遍的方法是利用第一积分一守恒律, 包括动量定理、动量矩定理给出的积分, 能量积分以及noether定理等. 非完整系统的另一重要积分方法是所谓lagrange力学逆问题,其中比较重要的成果是将hamilton-jacobi方法推广到非完整系统,hamilton-jacobi方法是积分完整保守系统方程的强有力工具, 但对非完整系统推广时却遇到了严重困难. 梅凤翔将南斯拉夫学者二用于求解完整非保守系统运动方程积分的场方法和梯度法分别推广到非完整系统, 为非完整系统运动方程的求解提供了新的工具

2. 研究内容和预期目标

（1）综述力学系统守恒律研究的历史与现状、积分因子方法研究的进展，提出尚存在的问题；

（2）将积分因子方法进一步推广应用于若干约束力学系统，并给出相应的算例；

3. 研究的方法与步骤

（1） 根据本课题，查阅相关的文献资料，了解几种常见的力学系统，了解本课题研究的历史与现状；

（2） 分析理出本课题研究历史与现状中还存在的问题，根据现有资料文献提出我所研究的方面；

（3） 围绕我所研究的内容，通过查找数据库及书籍补充完善相关的文献资料，并且补充学习未知的内容；

4. 参考文献

1、梅凤翔.非完整力学系统基础[m].北京：北京工业学院出版社，1985

2、梅凤翔.李群和李代数对约束力学系统的应用[m].北京：科学出版社，1999

3、叶敏，肖龙翔.分析力学[m].天津：天津大学出版社，2001

5. 计划与进度安排

1. 文献检索，提交开题报告：第4周（3月20日）前；

2. 论文研究，提交外文翻译初稿：第9周（4月24日）前；

3. 论文研究，提交论文初稿：第14周（5月29日）前；

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