Nielsen方程的Lie对称性研究开题报告

1. 研究目的与意义

从上个世纪初，由于爱英斯坦的相对论中提出了：时空性质决定物质运动，由此，noether确定了时空noether对称性与运动常量之间的关系。从那时候开始，人们对对称性理论的重要性有了更进一步的关注和认识。科学工作者们对对称性的研究热情达到了新的高度，迫切希望找到所有对称性以便来揭开整个物质世界的神秘面纱。1918年，noether提出了对称性与守恒量的关系，通过近几十年的研究，对称性与守恒量的研究在分析力学领域得到快速的发展，已取得许多的研究成果。1935年nielsen建立了完整整系统的一类新型方程，后人称为nielsen方程。nielsen 方程在分析力学 理论中占据重要地位，然而对nielsen方程的对称性与守恒量的研究仍有许多工作要做. 近年来，对 nielsen方程的对称性研究已有初步成。

到了近代，人们进一步加强了对nielsen方程的研究，近年来特别是对nielsen方程的lie对称性这一空区加强了研究与探讨。我国学者梅凤翔将nielsen方程先后推广到了非完整力学系统和变质量非完整力学系统，得到了广义nielsen方程，并且指出了广义nielsen方程与其它方程的等价性和可控力学系统的nielsen方程。梅凤翔教授对这类方程做了一系列的推广, 于1982年提出并建立了分析力学方程的nielsen体系，并建立 了nielsen型梅氏算子理论。1986年以来，赵关康，丁光涛，张解放，罗绍凯相续发展了nielsen体系的动力学理论，得到了一系列新的有价值的结果。1989年，陈立群围绕nielsen方程进一步推广，把广义nielsen方程推广到变质量可控力学系统，提出了变质量可控力学系统的广义nielsen方程，弥补了这一学术空白。1991年，罗绍凯又在其定义的m次相对速度空间中,建立变质量任意阶非线性非完整系统相对于非惯性系的nielsen型万有d’alembert原理和运动方程,较为全面地完成nielsen方程在经典分析力学中的推广问题。

随着近代科学技术的发展，对复杂力学系统的动力学研究越来越受到人们的重视 , 这些复杂系统的运动包括载体的运动以及被载体系统相对于载体的运动。经过二十多年的努力,已经取得了一些重要的成果，如相对运动动力学中的routh型的，以及appell型等等形式的相对运动方程。1993年，郭宏，林纲，杨如萍从惯性坐标系中的nielsen方程出发，推导出非完整系统相对运动动力学的广义nielsen型运动方程。1999年，梅凤翔利用代数方程和微分方程在无限小变换下的不变性，研究带有伺服约束的非完整系统的lie 对称性确定方程、限制方程、结构方程，并给出守恒量的形式。提出了包含伺服约束的非完整系统的lie对称性与守恒量。来到21世纪，关于力学系统的lie对称性与守恒量的研究取得了重要进展，赵跃宇讨论了非保守力学系统的lie对称性和守恒量，梅凤翔给出了有多余坐标的完整系统,非完整系统和birkhoff系统的lie对称性和守恒量。2000年，张毅和梅凤翔研究单面非完整约 束力学系统的lie对称性与相应的守恒量,给出了系统存在守恒量的条件和形式 , 并研究了其lie对称逆问题，提出了具有单面非完整约束的力学系统的lie对称性与守恒量。2001年，邹杰涛, 吴润衡研究了非完整约束力学系统的lie对称性与守恒量。

2. 研究内容和预期目标

Lie对称性不但可以直接导致非Noether 型的Lutzky守恒量、Hojman守恒量、广义 Hojman守恒量,还可以间接导致Noether守恒量和Mei守恒量,并给出Hojman守恒量与Lutz ky守恒量的一个统一形式。上述一系列的方法和结果,也已经被中国学者拓展和应用到各种不同类型的动力学系统。本课题研究的是Nielsen方程的Lie对称性研究，由Nielsen方程Lie对称性在各个系统中不同的约束条件，可得到其导致的各种守恒量的形式及其存在条件，这种对称性守恒量被广泛运用。例如推广应用到LRC 电路系统，获得该电路系统的对称性和守恒量、

运用守恒量求解数学上欧拉方程。

3. 研究的方法与步骤

1.将Nielsen算子带入无限小变换不变性方程得到确定方程2.由确定方程得到Lie对称性的生成元 3.由结构方程求出规范函数4.最后由各系统的守恒量得到Lie对称性守恒量

4. 参考文献

[1] 陈立群。变质量可控力学系统的广义nielse方程。固体力学学 报。 1989

[2] 罗绍凯。变质量任意阶非线性非完整系统相对于惯性系的广义nielsen型方程。安徽：安徽师大学报。1991

[3] 郭红，林纲，杨茹萍。非完整约束力学系统相对运动动力学中的广义nielsen型方程.洛阳：洛阳工学院报。1993

5. 计划与进度安排

毕业论文时间：第2～17周共16周。

（1）文献检索，提交开题报告：第4周（3月20日）前；