一类二阶线性偏微分方程精确解研究开题报告

1. 研究目的与意义（文献综述）

1.1研究背景

二阶线性偏微方程作为一类典型的偏微分方程，在物理学、力学、工程技术等领域有广泛的应用，例如：波动方程可以用来描述电信号在电缆中的传输问题；热扩散方程可以用来描述生物学中肿瘤的生长问题；拉普拉斯方程可以用于描述无源静电场的电位等物理现象；tricomi方程^[3]对研究气体动力学具有重要作用；keldysh型方程在研究跨音速管道流问题时被提出。

混合型方程的研究历史比较短，最早于1923年被tricomi提出。由于混合型方程与跨音速、微分几何中的等距嵌入问题等有着直接联系，对该问题的研究也受到了广泛重视，其中的一个研究热点是不同类型方程的定解问题。随后基本在以下几个方面开展研究工作：对于不同的定解问题，证明解的存在性和唯一性;寻求新的研究工具和途径，且不断减弱在证明可解性时所附加在方程系数和边界曲线上的限制;利用混合型方程解决气体动力学、几何学和弹塑性力学中的各种问题。

随后，典型的双曲-椭圆混合型方程精确解的研究方法有了新的进展。babarros-neto j.和gelfand i.m.^[4]-[5]对含有两个自变量的tricomi方程的基本解进行了具体研究，他们利用guass超几何函数^[6]的性质得到了该方程极点在轴上的两个基本解，并给出了基本解的具体表达式；屈爱芳通过引入散度积分主部，给出了奇点在的含有三个自变量的tricomi方程的基本解^[7]；陈恕行将此研究方法利用于求解keldysh型算子的基本解^[8]。

2. 研究的基本内容与方案

二阶线性偏微分方程的一般形式：

其中、、、是关于自变量的函数。当时，称为齐次方程，否则为非齐次方程。

由于方程的系数依赖自变量，在不同区域，方程的类型会发生变化，这在实际流体力学中的数学理论和微分几何中广泛出现。以含有两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，记，当时，方程为椭圆型；当时，方程为双曲型；当时，方程为抛物型。

本项目集中研究双曲-椭圆混合型方程，以Tricomi算子和Keldysh算子为例：

易见两者都在轴上方为椭圆型，在轴下方为双曲型。为寻求在特定奇点的基本解，首先需要对方程的阶次和平移不变性等性质进行分析，利用超几何函数导出算子基本解的形式，并利用格林公式沿着特征线进行积分来证明分布是算子的基本解，并对基本解的性质进行分析。不同算子的性质（包括特征线的性质）有差异，这就使得方程的求解方法和基本解的的性质等也存在着一些差异。

通过总结典型算子的基本解的求解方法和基本解的性质，对某类二阶线性偏微分方程进行求解，并分析其性质与特点。以实现研究方法的推广与完善。

3. 研究计划与安排

1-3周：查阅不少于15篇相关文献（英文文献不少于3篇），补充学习与研究相关的知识，完成开题报告；

4-6周：完成不少于5000字的英文文献翻译工作，同时明确研究思路，完成论文综述；

7-13周：掌握已有研究方法，将研究方法推广到具体问题的研究上，并进行改进和创新性工作；

4. 参考文献（12篇以上）

[1]谷超豪, 李大潜, 陈恕行, 等. 数学物理方程第2版[m]. 高等教育出版社, 2002.

[2]陈恕行. 现代偏微分方程导论[m]. 北京:科学出版社, 2005.