1. 研究目的与意义
奇异摄动方法是1892年由h.庞加莱倡导的。奇异摄动法本是一种求微分方程渐进解的方法，最早见于1904prandtl写的一篇关于求解流体动力附面层问题的论文。后来经过tikhonov、vasileva等其他学者的工作得到了进一步的发展。近几十年来，在控制工程方面奇异摄动法的应用研究是一个很活跃的学术领域。对于无限域含长期项的问题，可对自变量作变换，即采用m.j.莱特希尔提出的变形坐标法；对于最高阶导数项含小参数的边界层型问题，则采用l.普朗特从物理直觉提出的匹配渐近展开法，即将内解与外解按匹配条件对接起来的方法。20世纪50～60年代 ，这一方法得到了充分发展，其中包括p.a.斯特罗克以及j.d.科尔和j.凯沃基安的多重尺度法，h.克雷洛夫、h.h.博戈留博夫和u.a.米特罗波利斯基的平均法，g.b.威瑟姆的变分法，并形成应用数学的一门新的学科分支 。中国和华裔学者对奇异摄动法的发展作出了杰出的贡献 ，如郭永怀对变形坐标法的推广被钱学森称为plk法 、钱伟长的合成展开法 、林家翘的解析特征线法等。奇异摄动法是从事理论研究的重要数学工具之一，对于弱非线性问题的分析甚为有效。该法在基础和应用研究中已被广泛应用于微分方程、轨道力学、非线性振动、固体力学、流体力学、大气动力学、动力海洋学、声学、光学、等离子体物理学、量子力学等领域。
奇异摄动被广泛应用于自然科学的各个领域，比如大量动态数学模型都含有小参数，对非线性的复杂方程在无法求出精确解的前提下，求出一致有效的渐近解（近似解）尤其重要。从某种意义上讲这种渐近解是介于精确解和数值解之间的近似解，既能进行理论分析，也便于数值模拟.
奇异摄动法可以把一个高阶系统的求解任务分解成两个（或多个）低阶系统的求解问题。它先忽略快变化现象以便得到问题的简化解。这个稳态解代表在系统中主导主导作用的慢变化现象，它使人们便于掌握问题的本质。然后第二步再在“拉伸”的时间尺度上边界层修正项，它是忽略快变化的简化解与完全解之间的差异的一次近似。将简化解加上修正项就可以提高解的近似精度。这样做不仅可以降低处理问题的阶次，而且由于快、慢变量的分离消除了问题的“刚性”，从而使所需计算量大幅度下降。
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奇异摄动问题产生于流体力学、弹性力学、量子力学、声学、光学、化学反应和最优控制等重要领域。所讨论的微分方程中含有很小的摄动参数。相应问题的精确解经常呈现边界层或者内层。用有限差分方法或者连续的有限元方法求解时，数值解将在瞬变层附近出现剧烈的数值振荡，不能模拟真实的物理进程。本论文将探讨奇异摄动方程真解的基本性态，介绍目前的数值方法研究现状，特别是用局部间断有限元方法求解时的数值表现。内容上：介绍奇异摄动问题产生的背景、真解的基本表现形态、目前的数值方法研究现状以及局部间断Galerkin有限元方法的数值表现；需要进行一定的文献调研和数值实验。
3. 研究的方法与步骤
1查阅文献资料,通过图书馆借阅和网络电子文档查阅了解奇异摄动问题,并且了解其现存的解决方法,并通过自我总结归纳的方法,在论文中适当的解释说明.
2实例分析,通过文字描述太过空洞,具体事例具体分析,有关奇异摄动问题的解决方法都配上具体问题和解答过程,将其写入论文中.
3经验总结,文献资料加上实例分析,把自己的看法和理解写入论文之中.
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1. 刘树德，《奇异摄动边界层和内层理论》，科学出版社，20122. 裘叶芳， 唐荣荣，《一类非线性奇摄动方程的匹配解法和解的精度估计》，大学数学，26（2010）,47-523. 姜霄，林少伟，余璐，《一类拟线性双曲一抛物奇异摄动方程的数值解法》，科技创新4. H.G.Roos, M.Stynes, L.Tobiska,《Robust numerical methods for singularly perturbed differential equations》,Springer, 20085. 程瑶，《局部间断Galerkin方法的误差估计》，博士论文。
6. Local analysis of local discontinuous Galerkin method for the time-dependent singularly perturbed problem, Journal of Scientific Computing, 63(2), 2015, 452-477.7. Local analysis of the fully discrete local discontinuous Galerkin method for the time-dependent singularly perturbed problem, Journal of Computational Mathematics, 35(3), 2017, 265-288.8. Local analysis of local discontinuous Galerkin method with generalized alternating numerical flux for one-dimensional singularly perturbed problem, Journal of Scientific Computing, Journal of Scientific Computing, 72(2), 2017, 792-819
5. 计划与进度安排
数理学院 （系）_2022届毕业设计（论文）工作计划
| 周次 起止日期 | 阶段性内容 | 管理措施和质量监控检查 | 备注 |
| 第七学期 4—8周 | 毕业论文命题 | 对本学院教师提出命题要求，布置任务，教师命题 |
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| 9—11周 | 毕业论文课题申报、审核、发布 | 指导教师填写毕业论文题目申报表，经系部和学院审核，然后进入毕业论文智能管理系统进行毕业论文题目申报。专业负责人完成课题的审核，教学院长完成课题的发布。 |
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| 13—16周 | 学生网上选题 | 学生网上选题，视学生选题情况作适当调整。选题结束，指导老师向学生下达任务，学生根据要求收集资料。 |
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| 17周 | 审核及发布双选结果 | 专业负责人审核双选结果，教学院长发布双选结果。 |
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| 第八学期 1周 2022年3月5日-3月11日 | 动员与交流 | 毕业论文工作动员，组织指导老师和青年教师进行交流、培训。 |
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| 1周 2022年3月5日-3月11日 | 下发毕业论文任务书 | 指导教师完成在系统中毕业论文任务书的下发，系主任审核任务书。指导教师向学生讲授所选论题的状况和要求等 （任务书起止日期请填2022年11月27日-2022年6月18日） |
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| 1—2周 2022年3月5日-3月18日 | 学生完成开题报告 | 学生提交开题报告等材料（开题报告、外文翻译等），指导教师审核开题报告等材料。 (开题报告起止日期请填2022年3月5日-2022年3月18日） |
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| 3—14周 2022年3月19日-6月5日 | 毕业论文写作 | 学生按开题报告撰写论文 |
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| 8—9周 2022年4月23日-5月6日 | 中期检查 | 学生汇报课题进展情况，回答教师提问。各系进行自查，并配合教务处论文中期检查 |
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| 11－12周 2022年5月16日-5月22日 | 完成论文初稿 | 指导教师批阅论文初稿，提出修改意见 |
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| 13—14周 2022年5月30日-6月5日 | 论文定稿 | 经指导老师批阅，达到质量要求后定稿 |
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| 14－15周 2022年6月6日-6月12日 | 毕业论文评阅 | 指导教师写出评语，给出成绩等第;评阅教师评阅 |
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| 15－16周 2022年6月13日-6月18日 | 论文答辩与评分 | 学生答辩，答辩委员会提出终审意见，确定成绩， 填写评议书 |
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| 16周 2022年6月19日-6月20日 | 结束工作 | 整理材料，做好总结，上报教务处 |
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