矩阵特征值和特征向量的几种计算方法开题报告

1. 研究目的与意义

在数学中，矩阵是由一个按长方阵列排列的复数或者实数集合，最早来自于方程组的系数和常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵；在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

在数学中，矩阵乘法对应了一个变换，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。

在物理中，一个物理系统，其特性可以被一个矩阵所描述，那么这个系统的物理特性就可以被这个矩阵的特征值所决定，这个矩阵能形成“频率的谱”，就是因为矩阵在特征向量所指的方向上具有对向量产生恒定的变换作用。

2. 研究内容和预期目标

1、介绍矩阵特征值与特征向量目前的研究状况，探讨矩阵特征值与特征向量的实际意义。

2、介绍矩阵特征值与特征向量的定义和它们的基本性质，然后对矩阵特征值与特征向量的理论及应用进行分析。

3、主要研究求特征值和特征向量的幂法，反幂法；求实对称矩阵全部特征值和特征向量的雅可比方法；求特征值的多项式方法；求任意矩阵全部特征值的qr方法。

3. 研究的方法与步骤

在研究的过程中，首先通过阅读大量文献资料，找出与该课题有关的问题及结论，对问题加以分析，同时给出结论的证明。针对其有关性质和命题进行深入研究和探索，加以整理，从而形成自己的研究成果。

4. 参考文献

[1]袁慰平等，《计算方法与实习》[m]。南京：东南大学出版社，2005。

[2]郑慧娆等，《数值计算方法》[m]。武汉：武汉大学出版社，2002。

[3]李庆扬等，《数值分析》[m]。北京：清华大学出版社，2001。

5. 计划与进度安排

（1）3月1日至3月13日

根据毕业论文选题及指导老师下达的毕业论文任务书，搜集、整理与论文有关的、充分的、准确的信息资料，补充与论文有关的知识，完成论文开题报告。

（2）3月14日至5月15日

构思论文框架，根据论文开题报告编写论文提纲，查阅资料，撰写论文初稿。