Jensen不等式及其应用开题报告

 2021-08-08 12:08

1. 研究目的与意义

不等式在数学当中非常重要,而且很多不等式都与函数的凸性有关,Jensen不等式不仅反映了函数凸性同时也是利用凸性解决问题的重要手段。

其中凸函数本身的凸性是建立在不等式基础上的这一点,使得凸函数成为了证明不等式的重要工具,由此发展出了大量的不等式。

在不等式研究炙手可热的当下,毫无疑问Jensen不等式是极为重要的一环,事实上,在数学史的路上,Jensen不等式都是数学家们研究的热点问题。

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2. 国内外研究现状分析

众所周知不等式一直是极其充满活力的研究领域,在上世纪九十年代,关于不等式的研究异常活跃,其深度与广度都有长足的进步,尤其是自二十世纪五十年代剑桥大学出版社的名著《Inequalities》出版,其标志着数学界不等式理论的成熟。

近百年来,人们对Jensen不等式的研究主要有:反向Jensen不等式,保序线性泛函的Jensen不等式等,而且进一步将Jensen不等式的定义从区间推广到抽象测度空间,Hilbert空间等,进而得到了各种形式的Jensen不等式。

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3. 研究的基本内容与计划

本文从凸函数入手进一步推导出Jensen不等式,进而进行一系列证明论述以体现Jensen不等式的特殊性与重要性。

1查阅文献,了解研究动态,做开题报告。

2018.1.012018.3.012理论分析,利用所学知识撰写论文初稿。

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4. 研究创新点

本文从凸函数而引出的Jensen不等式以及Jensen不等式的一般形式,并对其利用函数凸性的应用进行了证明论述,解决了一系列数学问题,Jensen不等式在证明柯西不等式,Holder不等式以及积分不等式等不等式方面有效运用了函数的凸性这一重要特性,在问题解决过程中思路清晰,方法便捷,应用十分广阔,而且在诸如信息论,最大似然估计模型中也有着重要的应用,Jensen不等式既是反映函数凸性的一个重要不等式,同时也是利用函数凸性解决其他一些不等式问题的一个重要方法和发现数学问题的重要手段。

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