对自然对数底e的讨论与研究开题报告

 2021-08-08 12:08

1. 研究目的与意义

自然对数底e的讨论与研究的方法包括插值、拟合与逼近等,这些算法其实可以通过C,C 以及Fortran等语言编程实现.不过用C,C 以及Fortran等实现语言编写相对于Matlab更为复杂从而使程序易错,而Matlab在语言环境来说更为简单,并且在内部程序中自带相当多得函数,是程序的设计变得更为简单。

使用Matlab对所编制的逼近程序进行绘图,让得到的结果在图形中进行展示,是我们看到的结果更为清楚明白。

2. 国内外研究现状分析

早在6世纪,中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后,I.牛顿,J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代,插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具,又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础,许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。而对e的研究泛指数学计算问题的近似解法。狭义的理解则专指对函数的逼近,即对于给定的较广泛的函数类F中的函数=(x),从较小的子类H中寻求在某种意义下的一个近似函数hx),以便于计算和处理。∏.Л.切比雪夫和K.(T.W.)外尔斯特拉斯曾于19世纪中后期做了奠基性工作。函数逼近的主要内容有,对于某些特定的被逼近函数类F与逼近函数类H,讨论逼近的可能性,最佳逼近的存在性、特征、惟一性、误差估计以及算法等。它是现代数值分析的基本组成部分,除自身具有独立学科分支的意义外,还可用于构造数值积分、求函数零点、解微分方程和积分方程的近似方法。

3. 研究的基本内容与计划

实际问题中碰到的函数是各种各样的。有的表达很复杂,有的甚至不给出数学的表达式,而只是给出了一些离散数据譬如某些点的函数值和导数值。面对这种情况,一个很自然的想法就是构造某个简单函数作为考察的函数的近似。如果要求近似函数去给定的离散数据,则称之为的逼近函数。

所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,,fn},通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,,λn),使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性,就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中),否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数,这种情况下叫作样条拟合。

一组观测结果的数字统计与相应数值组的吻合。形象的说,拟合就是把平面上一系列的点,用一条光滑的曲线

连接起来.因为这条曲线有无数种可能,从而有各种拟合方法.拟合的曲线一般可以用函数表示.根据这个函数的不同有不同的拟合名字。

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4. 研究创新点

分段低次插值,虽然具有计算简便,收敛性有保证,数值稳定性又好且易在计算机上实现等优点,但它却不能保证整条曲线的光滑性,从而不能满足某些工程技术上的要求,从六十年代开始,首先由于航空、造船等工程设计的需要而发展起来的样条插值(spline)方法,既保留了分段低次插值的各种优点,又提高了插值函数的光滑性,在许多领域显得越来越广泛的应用。

鉴于高次插值不收敛又不稳定的特点,低次插值既具有收敛性又具有稳定性,因此低次值更具有实用价值,但是低次插值的光滑性较差,比如分段线性插值多项式在插值区间中仅具有连续性,在插值节点处有棱角,一阶导数不存在;分段三次Hermite插值多项式在插值区间中仅具有一阶导数即一阶光滑性但不具备二阶光滑性,不能满足某些实际应用比如汽车、轮船、飞机等的外形中流线形设计。样条是在二十世纪初期经常用于图样设计的一种富有弹性的细长条,多个样条互相弯曲连接后沿其边缘画出的曲线就是三次样条曲线。后来数学上对其进行了抽象,定义了m次样条函数,并成为自然对数底e的讨论与研究的重要研究分枝,进一步扩大了样条函数的应用范围。

利用Matlab曲线拟合,可以快速从采样数据逼近待测函数或曲线,将使用者从复杂,繁琐的底层编程中解放出来,给采样数据的处理和加工提供了方便,提高了工作效率。大多数CAD软件都只有直线,圆弧绘画功能,对于复杂的非圆弧曲线绘制,一般采用描点式进行人工拟合。精度难以保证。而Matlab曲线拟合能够快速精确地绘制出复杂的非圆曲线。曲线拟合较其他方式更为平滑。

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