基于Chebyshev多项式基的常微分方程数值求解开题报告

1. 研究目的与意义

研究Chebyshev的性质，运用它的性质来求解不同的常微分方程。研究正交多项式的表达与性质具有重要的理论与工程应用价值。因为谱方法具有很高的数值精度,所以它被广泛的用于偏微分方程的数值求解中，谱方法中常用的正交多项式是Chebyshev多项式。因此，研究Chebyshev正交多项式的性质对于谱方法的数值分析极其重要。

2. 国内外研究现状分析

以俄国著名数学家切比雪夫(Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，18211894)的名字命的重要的特殊函数，第一类和第二类切比雪夫多项式和，源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式。在经过多年的研究、运用、推广，由于Chebyshev多项式的许多优良性质,使得它在数值逼近、神经网络等方面应用广泛,通过翻阅国内外参考资料发现关于Chebyshev的应用多种多样，多应用于插值分析、奇异值积分、恒等式变换等等。

3. 研究的基本内容与计划

内容：首先明确研究目的，然后列出chebyshev正交多项式的相关性质及应用，举出一些常微分方程，再将正交多项式的性质运用到方程中求解，写出运行程序集结果，并且进行分析，得出结论，最后总结。

计划：1~3周：收集相关资料，要求中文资料不少于10篇，英文资料不少于两篇，熟悉课题内容，完成开题报告；

4~5周：研究chebyshev正交多项式的性质，分析基于chebyshev多项式基的常微分方程数值求解；

4. 研究创新点

Chebyshev配点法求解Volterra型积分微分方程,由于Volterra型积分微分方程带有记忆性质,与传统的常微分方程和偏微分方程相比,有着本质区别，这个研究提高了求解效率。