基于Legendre多项式基的常微分方程数值求解开题报告

1. 研究目的与意义

经典正交多项式的研究大多由19世纪的jacobi，hermite，laguerre等欧洲数学家所提出。

该多项式具有确定的物理含义、简洁的解析表达以及广泛的工程应用，自问世以来一直得到数学、物理以及工程等领域的关注。

正交多项式之所以受到广泛关注，不仅因为它所具有的数学价值，如连分式、欧拉系列、椭圆函数、量子代数等，更重要的是它和物理、工程应用等有很深的联系，典型应用是图像处理和模式识别技术，如以正交多项式为核函数的图像正交矩与不变特征量等。

2. 国内外研究现状分析

严建平在《二阶常微分方程组初值问题的legendre gauss和广义laguerre gauss配置方法》中提到，在科学与工程上，许多实际问题的数学模型是常微分方程的初值问题。微分方程数值解法是计算数学的主要研究方向之一，也是大规模科学计算的重要组成部分。本文研究微分方程三大数值解法之一的谱方法及其应用。谱方法最受人青睐的优越性在于它具有谱精度。

罗文陶在《legendre多项式及推广》中提到，早在1785年，为了研究球体间的吸引力以及行星的运动问题，legendre引进了legendre多项式。legendre多项式是数学物理中的一个重要的特殊函数，对线性微分方程的定解问题有着广泛的应用。

吕书龙在《legendre多项式零点的一种求解方法及应用》中提到， legendre正交多项式在函数逼近、多项式回归、数学物理方程和数值积分等领域应用广泛。

3. 研究的基本内容与计划

研究legendre正交多项式的性质，分析基于legendre多项式基的常微分方程数值求解。

研究方案与时间安排：

1 ~ 3 周：收集相关资料，要求中文资料不少于10篇，英文资料不少于两篇，熟悉课题内容，完成开题报告；

4. 研究创新点

研究正交多项式的表达与性质具有重要的理论与工程应用价值。谱方法具有很高的数值精度，被广泛的用于偏微分方程的数值求解中，谱方法中常用的正交多项式是Legendre多项式。