振荡微分方程的拟合型St#246;rmer-Verlet方法开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

本项目针对一类特殊二阶微分方程建立高效的拟合型strmer-verlet方法。

strmer-verlet方法具有辛和对称性，数值实验时在保结构和计算效率等方面具有一定的优势，至今已发展成为一类非常重要的数值方法[1]。

由于有摩擦的单振子、偶合振子以及变质量动力学问题[2,3,4,5]，量子力学的量子有阻尼振子问题[6,7]都可以归结为我们所研究的方程，因此本选题具有重要的理论意义和应用价值。

2. 研究的基本内容和问题

研究目标：（1）对二阶振荡微分方程，得到拟合型strmer-verlet方法的数值格式。

（2）建立相关的保结构算法理论，推导出相应的保结构性条件。

（3）构造出一系列的新算法。

3. 研究的方法与方案

研究方法：问题转化，算法设计，理论分析，数值实验，实验结果分析技术路线：设计算法 分析算法 编写数学软件 数值实验实验方案：将新构造的辛指数拟合strmer-verlet方法，用于实际问题的数值计算，并与经典方法相比较，验证新方法的有效性与高效性。

可行性分析：（1）我们已经学过高等代数、数学分析、常微分方程等课程。

（2）我们学习数学软件matlab，已具备一定的编程基础知识和基本技能。

4. 研究创新点

（1）利用辛条件和对称条件来研究受扰动的二阶振荡微分方程的指数拟合方法，要求算法能保更多的代数结构、几何结构或物理不变量。

（2）建立相关的保结构算法理论，推导出相应的保结构性条件，要求算法能保更多的代数结构、几何结构或物理不变量。

（3）面向自然科学中的前沿性的、亟待研究的有结构的振荡系统，如经典力学中的受扰动duffing方程及量子力学中的schrdinger方程；重视方法的理论基础，更重视数值试验，以实验效果作为判断算法优劣的最终标准。

5. 研究计划与进展

研究计划：2015.12 -2016.2系统学习微分方程数值解法、有根树与阶条件的基本理论，经典的数值schrdinger方法，并学会熟练掌握微分方程数值解的理论分析方法（收敛性、阶条件与稳定性），获得较多的数值实验经验。

2016.2-2016.3收集有关schrdinger方法的最新文献，将前人的相关研究重复出来并整理成文献综述。

在系统研究前人工作的基础上，提出拟合型schrdinger方法的新格式。