二阶方阵上的Rota-Baxter代数开题报告

1. 研究目的与意义、国内外研究现状（文献综述）

rota-baxter代数是一类带有线性算子的结合代数。近些年来，rota-baxter代数与数学和物理学的许多领域有着广泛的联系，吸引了许多数学家的注意并得到了迅速发展。

rota-baxter代数起源于上世纪60年代，源于glen baxter在概率论中对波动理论的积分方程的代数研究的一篇重要论文^[6]，该论文将概率论中的独立随机变量部分和过程的振荡性质的一个基本恒等式spitzer恒等式和其它重要的恒等式进行了推演，随机这些恒等式立刻引起了许多著名的数学家的注意，他们对此作了进一步的研究，并取得了许多好的结果，特别是rota注意到了这些恒等式在代数学和组合数学中的重要作用，并从上个世纪60年代后期到90年代将baxter算子和组合等式联系在一起^[7,8]，且他还提出了今后研究工作的方向。rota在集合上构造了自由baxter代数的一个显示结构，并由这个结构结合waring公式给出了spitzer恒等式的一个证明，并选取了合适的baxter代数对对称群的表示理论进行了讨论，还应用baxter算子简化对称函数和mobiuis反演的一些计算。cartier^[9]于上世纪70年代也构造了自由baxter代数的一个显式结构，弄清楚了baxter代数和对称多项式之间的联系。baxter代数还被广泛应用于代数学、几何学、lie代数等多方面的研究，如累次积分、微分代数、对称函数、超几何函数和量子群^[12]等等。rota对这些应用进行了比较详细的说明表达了他对于以后工作的建议和看法。

在上世纪80年代，量子群一文引起了数学界广泛关注，v.g.drinfeld把统计学和yang-baxter方程的波动力学问题的研究转化为hopf代数的研究，有着极其深刻的物理背景。量子群是lie群、lie代数与代数发展到一定阶段的产物，综合了物理学与数学的许多分支的思想和内容，具有十分广泛的理论意义和应用范围。在代数方面，它将群与代数的表示理论有机地结合起来。2000年，connes和kreimer^[10,11]将rota-baxter代数引入到量子域重正规划的研究，它是量子域重正规划理论从代数角度研究的奠基性工作。

2. 研究的基本内容和问题

本次实验研究的目标，是在学习了解了Rota-Baxter代数代数的基本性质和特点的基础上，对其应用扩展进行探索，了解到与之相关的更多例子。因此，我准备把矩阵作为Rota-Baxter代数的应用拓展，把矩阵和Rota-Baxter代数紧密联系起来，特别地，我们选取的是方阵，从中发现规律。这一次的实验探究，也是对其他人实验的补充，希望做出更全面的介绍。

实验内容包括：首先对Rota-Baxter代数进行一定的了解，在了解其基本性质的基础上，我们再来研究方阵阵上的Rota-Baxter代数代数。有关方阵阵上的Rota-Baxter代数，我们从简单入手，从简单方阵开始。对于一维矩阵，我们能够很容易得出相关结论，所以，我们不准备多做研究。本次实验的主要内容，我们是要对二阶方阵阵进行研究，找到权为0的Rota-Baxter算子，实质就是我们找到当权重为0时的二阶方阵上的Rota-Baxter代数的分类。我们会对实验过程进行详细的解释与说明。所以，我们解决的关键问题，就是找到二阶方阵阵上权为0时的Rota-Baxter算子。

3. 研究的方法与方案

寻找二阶方阵上权为0的rota-baxter算子，我们的研究方法如下：

首先，先取方阵的一组基，它们分别为

，于是我们可以通过计算得到它们乘积之间的关系，比如说， 。

4. 研究创新点

本次方案的特色在于将方阵和Rota-Baxter代数的关系，并且巧妙的运用了基矩阵的方法，构造了方阵上的Rota-Baxter算子。这是对Rota-Baxter代数的创新和应用，能够使大家能够更加全面的认识、了解、深入研究Rota-Baxter代数。就阅读过的资料来看，有人构造过上三角矩阵上的Rota-Baxter算子，也构造过二阶方阵上权重为1的Rota-Baxter算子，所以本次的创新就是计算二阶方阵上权重为0的Rota-Baxter算子。

对于计算过程，也是比较巧妙的，思路简单清晰，可以能够很容易的掌握主旨，便于研究的深入与进行，方便实验过程的继续。

5. 研究计划与进展

本次研究，主要分为三部分：

第一步，加深对rota-baxter代数定义及其相关性质的理解，方便其应用的扩展与理解，多多了解有关rota-baxter代数的相关例子。

第二步，从简到繁，由易到难，计算权重为0的rota-baxter算子。