1. 研究目的与意义
积分学的历史非常悠久，甚至可以追溯到古代。可以知道，面积和体积的计算自古以来一直为数学家们所热衷。在古代希腊、中国和印度的数学家们的著作中可以找到许多用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长度的例子。例如在《圆的度量》中，阿基米德为解决圆的周长和面积运用的穷竭法；刘徽在推证《九章算术》时用的极限方法与不可分量法等。十七世纪以后，牛顿的《流数简论》标志着微积分的诞生，牛顿和莱布尼茨创立了微分学，积分这才得到真正的发展。十八世纪，数学的发展进入了数学分析时代，但是积分的概念一直没有被真正的提出，直到Cauchy从分析的角度给出积分的构造性定义。十九世纪，数学家们试图给积分计算提供一个稳固的定义。而Riemann将Cauchy只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的Riemann积分，从而扩大了积分的应用范围。但是Riemann积分还主要存在着两方面的缺陷，一是Riemann积分与极限可交换的条件太严；二是积分运算不完全是微分的逆运算。鉴于Riemann积分的缺陷，人们长期以来致力于对此进行改进。直到十九世纪末集合论的建立为微积分的变革奠定了理论基础，科学家们开始着手改进并推广Riemann积分。1902年法国数学家Lebesgue基于可列可加的测度，成功地引入了一种新积分，这就是Lebesgue积分。当然单纯的从积分学的发展史看来Lebesgue积分是Riemann积分的推广衍生，但是Lebesgue积分在很大程度上摆脱了Riemann积分的不足，且大大地扩充了可积函数的范围，成为我们现今分析数学中不可缺少的工具。本文就Riemann积分与Lebesgue积分的定义出发，进行分析比较得到它们的联系与区别。通过本课题研究，能够初步体学现代数学的思想方法和证明技巧，并学会如何将现代数学理论与古典数学理论相结合。
2. 研究内容和预期目标
本课题主要研究内容为为微积分，其核心内容是Riemann积分，而Riemann积分主要研究区间上近乎于连续的那些函数的积分问题。随着公理集合论的产生，许多新出现的函数在通常的Riemann积分意义下无法实施积分。二十世纪初Lebesgue开创了可列可加测度的积分论，将Riemann积分推广为具有更广泛更深刻意义的Lebesgue积分。Riemann积分建立在区间长度的概念之上，而Lebesgue积分则建立在关于点集测度的概念之上，这些概念都能很容易地应用并推广到维空间的点集上，本课题主要讨论这两类积分之间的相互关系。研究分两个层次进行，首先是阐述正常Riemann积分和Lebesgue积分的关系，其次阐述广义Riemann积分和Lebesgue积分的关系。主要探究Riemann积分和Lebesgue积分之间的区别与联系。
3. 研究的方法与步骤
本课题将采用思维方法、数学方法、文献分析法、比较分析法、案例分析法等方法进行研究。具体步骤如下：
1．阐述lebesgue积分和riemann积分在积分理论中的重要作用和地位。
2．阐述lebesgue积分产生的必然性和重要意义。
4. 参考文献
本课题主要参考文献：
1. 周民强，实变函数论[m]，北京大学出版社，2004
2. 郭懋正，实变函数与泛函分析[m]，北京大学出版社，2005
5. 计划与进度安排
1、1、2022年2月20日~3月5日，根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；
2、2、3月1 日 ~3月12日，完成开题报告，开题报告应按学校规定要求填写。开题报告应包括研究的背景、目的与意义，研究的内容和预期目标、研究方法及步骤，主要参考文献、进度安排等内容；
3、3月13日 ~ 5月21日，论文写作阶段。在这期间，学生每周应向指导老师至少汇报、交流一次论文进展情况；
