对称群的有限维表示开题报告

1. 研究目的与意义

抽象代数又称近世代数，是现代数学的一个重要分支，它产生于十九世纪，主要研究各种代数结构（既，具有代数运算的集合），以及在这些结构中保持运算的映射（称为态射）。群是抽象代数最基本的概念，对称群更是群中一个较为常见的例子。抽象代数也是现代计算机理论基础之一。同时抽象代数也为现代数学、现代物理学、现代化学、计算机科学、现代通信以及密码学等提供了语言、重要结论和研究方法。抽象代数中的对象正因为有如此多的应用，所以占据其重要的知识块的群论就更是重中之重。但是群理论的学习和研究的过程是非常抽象的，而研究群最有效的一个方法就是群的表示理论。

基于此，本论文就是从抽象代数群论中这个重要的对象--对称群为出发点，来通过研究对称群的表示，然后将抽象代数中对称群的概念和相关性质结论，和高等代数中向量空间和基的概念以及线性变换等建立关系。通过对称群的定义我们很容易知道元素之间的关系以及这个对称群的二元运算。每一个对称群都有不同的意义。

本文主要通过将抽象代数与高等代数相结合，利用有限维的向量空间，通过群表示将对称群中的抽象元素在群同态下看成矩阵，从而用矩阵来发现不同对称群以及它们之间的规律。

2. 研究内容和预期目标

本论文就是从抽象代数群论中这个重要的对象--对称群为出发点，来通过研究对称群的表示，然后将抽象代数中对称群的概念和相关性质结论，和高等代数中向量空间和基的概念以及线性变换等建立关系。通过对称群的定义我们很容易知道元素之间的关系以及这个对称群的二元运算。每一个对称群都 有不同的意义。本文主要通过将抽象代数与高等代数相结合，利用有限维的向量空间，通过群表示将对称群中的抽象元素在群同态下看成矩阵，从而用矩阵来发现不同对称群以及它们之间的规律。

我们知道对称群 ={1，（12），（13），（23），......}，并且在日常学习抽象代数中对称群是中很基本的概念，元素之间的关系以及这个对称群的二元运算都很清楚，但是只了解了对称群的定义很难看出这些抽象元素真正的意义。为了更加深入探索，这时候我们就希望可以找到一个有限维的向量空间 V ，利用向量空间的性质，通过群表示：将对称群中抽象的元素可以在这种群同态定义下看成矩阵，便于我们发现规律。

3. 研究的方法与步骤

1.查阅有关数学思想方法的相关书籍和文献资料，对数学思想方法的进行详细、全面、系统地文献解读和分析。

2. 从数学研究对象及数学特点的高度出发，对数形结合思想方法做出剖析，并通过几何、函数、向量、复数等良好载体，研究数学思想方法在中学数学解题中的影响与作用。

3.写出文献综述，说明本课题研究的背景、目的意义，并基于文献提出研究框架，列出论文提纲，准备开题。

4. 参考文献

【1】北京大学数学系前代数小组.高等代数【m】北京：高等教育出版社2013：162-164

【2】丘维声.抽象代数基础【m】北京：高等教育出版社2014：12-13

【3】丘维声.群表示论【m】北京：高等教育出版社2011：13

5. 计划与进度安排

1. 2022年12月9日-2022年2月24，确定选题，收集整理文献资料；

2. 2022年2月24日~2022年3月1日，指导老师下达毕业论文任务书，向学生布置论文工作要求；学生根据任务书要求初步理解毕业论文的目的、要求和任务，准备相关的参考资料；