尾部激励对船舶推进轴系振动影响研究外文翻译资料

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《振动》

9.1 简介

在第三章，通过8个例子提出了有限自由度的振动系统。在章节2.5中提到，具有分布惯量和刚度特性的元件，如：梁，被用来对许多物理系统如章节2.5.4中的滑雪板，章节2.5.5中的工件-刀具系统和章节2.5.2中的微机电加速度计进行建模。前文提到，分布参数系统，也叫作空间连续系统，具有无穷多个自由度。除了梁，能够在振动模型中使用的分布参数系统还包括柱，缆索，承受轴向振动的杆，承受扭振的轴，膜，平板，壳体。上述提到的系统中，除了最后三种系统，其余的系统在描述时都需要一个空间坐标系。用来控制有限自由度的振动系统的运动方程是常微分方程组，这些方程为初始值问题的形式。相反，用来控制分布参数系统的运动方程是带有边界条件和初始条件的偏微分方程组，分布参数系统振动响应的解的确定需要额外的数学技巧。然而，在有限自由度系统语境中使用的一些概念比如：固有频率，振型，模态正交性，简正波求解方法，在无限自由度下图中也能很好的使用。一个无限自由度系统具有无穷多个固有频率和在这些无穷多个固有频率中的自由振荡相关联的振型。

在这一章，梁在长度方向上的自由和强迫振动被考虑了。在附录G中列出了杆，轴，柱的振动。如章节2.5中的各种例子说明的，许多物理系统的振动模型需要用到梁单元。除了这些例子，其他的用梁单元来给物理系统建模的例子包括旋转机械模型，船体模型，机翼模型，行车桥梁和铁路桥梁模型。涡轮中的螺旋桨桨叶和直升机的旋翼桨叶也用梁单元来进行建模。由于梁具有的振动特性在这些不同的系统中具有现实意义，本章的重点将会放在梁的振动上。

在上文每一个被引用的应用，并且在许多其他的应用中，梁受到动态变化力的作用。根据这些动态变化力的频谱（随着这些力频谱的变化），这些力可能会在梁的一个或多个固有频率点对梁产生激励作用。一个设计工程师的常见要求就是去创建一个弹性结构使梁对所施加的动态载荷能够产生最低限度的响应，所以，较大的位移幅值，高应力，和结构疲劳都会最小化，并且磨损和辐射噪声会降低。

梁的运动控制方程通过弹性梁的机理和哈密顿原理获得。不受外力作用的无阻尼梁的自由振动被提出，影响固有频率和模态的各种因素也被检测出来，检测包括惯性元件，被粘在中间位置的弹簧，梁的几何变换的处理。先前章节所使用的模型的局限性也在被一个柔性结构支撑的具有一两个自由度的系统被指出。使用简正波方法来检测梁的强迫响应也被提出。

在这一章节，我们将会展示：

（1）检测等截面伯努利-欧拉梁的固有频率和振型来得到一个较宽范围的边界条件；

（2）对于给定的质量和刚度分布，振型为正交状态的条件下，进行检测；

（3）检测带有附属局部刚度和惯性元素的伯努利-欧拉梁的固有频率和振型；

（4）检测变截面伯努利-欧拉梁的固有频率和振型；

（5）检测伯努利-欧拉梁对于初始位移、初始速度、外部强迫的响应。

9.2 运动控制方程

在这个章节里面，我们将说明一根承受由任意载荷条件和边界条件引起微小横向振动的弹性梁的控制方程是怎么样的。图9.1展示的是一个处于变形构型的梁单元。X轴沿着梁的跨度方向，y和Z轴沿着x轴的横向方向。横弯矩数量级M作用沿着J方向，并且假设梁的位移被受限在x-z平面。位移w(x,t) 表示梁上某点的横向位移。

运动的控制方程的推导是基于广义的汉密顿原理。为了使用这个原理，第一个需要做的就是检测系统的势能、动能，以及作用在系统上的功。为了检测系统的动能，长度为Delta;x的每一个元件都被当成刚体对待，同时，为了检测系统的势能，梁材料中的应力-应变关系被使用。为此，来源于固体力学的初探在章节9.2.1中呈现，随后动能、势能、功的表达式在章节9.2.2中可以获得。

9.2.1 来源于固体力学的初探

在章节9.1中，梁的面向曲率中心的一面将会被压缩而其相反的一面将会被拉伸，AA面将会被拉伸，而BB面将会被压缩。通过梁横截面上质心的线叫做中心线。在这里，沿着中心线的一根纤维被假设成轴向上没有应变。因此，这条中心线就是中性轴。梁的形变被假定用伯努利-欧拉梁理论来描述，这个理论适用于回转比半径长度大于10的薄弹性梁。为了适用这个理论，假定中性轴保持不变，梁的平截面垂直于立于平面上的中性轴并且垂直于变形的中心线，梁的横向垂直于沿着法向方向没有应变的BA面。如图9.1所示，对于一根距离中性轴Z处的纤维来说，沿着梁长度方向的应变可以用下列公式表示：

R代表曲率半径，Delta;s₀代表一根纤维在沿着中性轴方向上的长度，Delta;s代表距离中性轴Z处的翼根纤维的长度，通过几何的方法写出来。

根据胡克定律，作用在纤维上的对应轴向应力sigma;为：

E代表材料的剪切模量。根据图9.1中所示的规定，在单位矢量K方向上有一个正位移w。因此，在中心轴上方的纤维产生一个S的正向位移，代表拉伸长度，同时，处于中心轴下方纤维产生一个S的负向位移，代表压缩长度。

在梁的一个内部截面上，关于y轴的一个力矩平衡如下：

y₁和y₂是区间的上下限，对应于沿着y方向的整个范围，我们已经得出方程（9.3），所以：

参量I代表梁在y轴上的横截面的面积惯性矩，该面积惯性矩通过质心。一般而言，在方程（9.5）中的二重积分的区间并不是连续的，而是：a =a(x), b = b(x), y₁ = y₁(x), and y₂ = y₂(x).在这种情况下，面积惯性矩沿着长度方向发生变化，因此，总体来说，I =I(x).曲率k =1/R, 对于向下的凹曲率来说，它被假定是正的，表达式如下：

如果假定斜率很小，也就是说，part;w/part;xlt;lt;1，在这里，part;w/part;x就是在x处的中性轴的斜率，那么方程(9.6)可以简化为：

一旦把方程(9.7)代入方程(9.1)和(9.4)，我们就可以得到：

因此，应变和弯矩的大小正比于梁位移的二阶导数。伯努利-欧拉定理的表述为：弯矩是线性正比于梁位移的二阶导数，这也是线性弹力薄梁理论的基础依据。

方程(9.8)是在只考虑了梁末端力矩的影响下得出来的。假如，除此之外，有一个横向载荷f (x,t)，那么在梁的内部就会有一个纵向的剪切力来抵抗这个力。在图9.2中，如果作用在点o的合力矩沿着j方向，并且梁单元的转动惯量可以忽视，那么结果是。

就可以导出

Delta;x趋于0，则剪切力的增量Delta;V也趋于0，我们可以得到

利用方程(9.8)的结果，我们可以得到：

因此，剪切力等于弯矩沿着x轴的变化值。因此，如果M（x）在x方向是连续的，那么就有V=0。

9.2.2 势能，动能，功

为了在后续章节9.2.4中的使用，我们构建了系统的势能，系统动能，并且检测了由外力所做的功。
势能

一根变形梁的势能由多种不同来源组成，包括应变能。对于一根由于弯矩而产生轴向应变的梁来说，如果应变能是系统势能的唯一组成，那么梁的势能可以写为：

其中，我们使用了方程(9.1)，(9.3)，(9.7)。
动能

假定梁的转变的动能时系统动能的位移来源，那么它可以写做：

其中，A =A(x)是梁的横截面积并且 r= r(x)是梁材料的质量密度。如果梁单元的转动惯量也考虑的话，一个于旋转动能的附加条件将会包含在方程（9.11）中，如同方程（1.23）描述的那样。

功

每单位长度fc(x,t)上的横向保守载荷所做的功如下所示：

如果重力是作用在梁上的位移恒定载荷来源，那么：

如果梁也处于一个如图9.3所示的轴向拉力p(x,t)的作用下，那么中性轴的长度不再保持恒定，而是延长至新的长度。如果我们假定变形量很小并且没有影响载荷p(x,t)，那么梁上一个单元的长度变化为（Delta;s-Delta;x)，其中：

因此，轴向力的外力功如下所示：

其中我们使用了方程（9.13）。由于张力作用阻碍梁的横向位移w，所以做的功带有负号。如果轴向力是压缩力，那么p(x,t) 就变为 p(x,t).

最后，我们假设梁在弹性基础上处于静止状态，如同图9.3所示。梁的横向位移在弹性基础上产生了一个力，里的大小为f_f (x,t) =k_fw(x,t),其中k_f是弹性基础每单位长度的弹性系数。这个弹性力阻碍了梁的运动。弹性基础所做的外力功如下所示：

其中，我们再一次用了一个负号来说明一个事实：那就是作用在梁上的弹性基础的力阻碍了梁的位移。

系统拉格朗日函数

为了构建系统拉格朗日函数 L_T,我们构建了函数G_B

其中

然后我们来介绍这些简化的符号

在方程（9.18）中，分别代表梁的速度，梁的角速，度和梁的曲率。在方程（9.17）中，Wc(t)是保守力做的功并且假定外力fc(x,t) 所做的功Wf (t) 是保守的，轴向载荷p(x,t)所做的功Wp(t)也是保守的。

在分别有了方程（9.10）对于U(t)的积分，方程（9.11）对于T(t)的积分,方程（9.12a）对于 Wf (t)的积分, 方程（9.14）对于Wp(t)的积分和方程（9.15）对于 Wk(t)的积分后，我们从方程（9.16）中可以得到：

在方程9.19中没有项，因此我们在求解过程中可以忽视梁横截面处的转动惯量。

在梁上从x = 0到x = L这一段区间内，离散型外部原件可以成为系统总动能和总势能的来源。想象一下，例如，在图9.4中展示的梁。在左边界x=0处，有一个刚度为k₁的线性压缩弹簧和一个刚度为k_t1的线性螺旋弹簧。类似的，在左边界（x=L处），有一个刚度为k₂的线性压缩弹簧和一个刚度为k_t2的线性螺旋弹簧。在左边界，还有一个质量为M₁、转动惯量为J₁的惯性元件，在右边界，还有一个质量为M₂、转动惯量为J₂的惯性元件。在x=0和x=L处，分别有一个阻尼因子为c₁和c₂的线性粘滞阻尼器。比较图9.4中左边界惯性元件的动能和左边界刚性元件的势能的区别，我们得到了离散的拉格朗日函数。

其中，下标0被用来表示x=0处的物理量，也就是说，w0 = w(0,t) 表示在边界x=0处的位移，表示边界x=0处的斜率等等。刚体质量中心的保守速度也被标示为，螺旋弹簧的角位移被表示为，刚体的角速度被表示为。类似的，右边界相应的离散拉格朗日函数由下式给出：

其中，下标L被用来表示x=L处的物理量。也就是说，wL = w(L,t) 表示在x=L边界处的位移，表示在x=L边界处的斜率等等。并且，刚体质量中心的保守速度也被标示为，螺旋弹簧的角位移被表示为，刚体的角速度被表示为。

回想起来，拉格朗日函数Lt是系统动和系统势能之差，对于梁系统的拉格朗日函数Lt，可以表示为：

其中，G_B由方程9.19给出，G₀由方程9.20给出，G_L由方程9.21给出。方程9.22a的右手边的最后两项包含在使用第六章介绍的delta;函数的空间积分里面。

其中

在方程9.22b和9.23中，delta;函数被用来表示位于空间中 x = 0和x = L处离散附件的比例。特别的，delta;(x)假定当x为非0的时候，其值为1；delta;(x-L)假定x不等于L时，其值为0。这些函数的使用使得我们可以概括一个涉及整个定义域的表达式中这些离散的组成部分。

在边界处的阻尼元件介绍了下面这些在边界处的离散的非保守力。

9.2.3 广义哈密顿原理和运动方程的推导

为了推导梁的运动控制方程，我们使用了推广的哈密顿原理。首先提出了一个应用于空间一维连续统的通用公式，并且由于这个公式的一个应用，梁的方程也得到了。首先，保守系统，也就是，由于阻尼和其他耗散源而没有能量损失的系统被考虑在内，并且，非保守系统也考虑在内。

保守系统

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