含有时滞和弱阿里效应有感染的食饵捕食者模型外文翻译资料

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含有时滞和弱阿里效应有感染的食饵捕食者模型

0.摘要

我们用时滞微分方程来描述捕食者服从弱阿里效应、食饵有疫情的动力学系统。本文的基本目的是观察在捕食者服从有时滞的弱阿里效应的影响下，生态系统的动力学特性。我们通过构造一个适当的李雅普洛夫函数来分析该时滞模型的基本性质，如一致持久性、稳定性、内部平衡点的全局渐近稳定性和系统内部平衡点处的Hopf分叉。最后我们进行了数值模拟，数值实验得到的结果和我们分析得到的结果基本一致，表明了该数学模型的适用性。另外我们观察到，当时滞参数 增加该系统将产生混沌振荡，而当阿里参数大于某一阈值时该系统中的捕食者将会灭绝。

1.简介

这个生态动力学模型是建立在Hadeler和Freedman关于流行病学模型的基础研究著作[1]以及创造了生态流行病学这个词的Chattopadhyay和Arino的著作[2]上。以W.C.Allee命名的阿里效应[3]，对人口动态研究有显著的贡献。阿里效应主要分为两种：强阿里效应与弱阿里效应[4,5]。强阿里效应：当种群密度低于某一阈值时，物种将会灭绝；弱阿里效应：当种群的生长速率下降时，种群的数量仍然保持正增长。和阿里效应一样，疾病也是导致物种灭绝的一个基本原因，阿里效应和疾病之间的相互作用需要深入的研究[6]。在假设两个生态种群和流行病保持相互独立的情况下，阿里效应是已经被定义且具有明确意义的生物学概念，但在有阿里效应的影响下生态系统的流行病学的研究却很少[7-12]。

此外，流行病动力学中最重要的问题之一是分析在有时滞的情况下生态系统的稳定性。时滞是一种非常的普遍现象（另外还有动力行为，吸引力，持久性，周期振荡，分岔及混沌[13-31]等广泛的研究活动），众所周知，大部分的生物过程涉及时滞。在生态学中，捕食者必须延迟活动[32-39]花时间先消化食物。因此，如果考虑捕食者在捕食过程的时滞，是更符合现实的。关于时滞模型中一些详细的参数可以在经典书籍[35,36,40]中找到。据我们所知，在阿里效应[41-44]中加入时滞来研究生态系统的动力学特性的作品很少，我们在服从弱阿里效应并且有时滞的生态系统中来研究系统的动力学性质，这是此类研究的首次尝试。

最近，Sasmal和Chattopadhyay[9]研究了服从弱阿里效应的有感染的食饵捕食者模型，但是他们没有在模型中引入时滞。在本文中，我们的模型考虑到捕食者在进行其他活动前必须花时间来消化食物。除了上述假设，我们还假设，捕食者只捕获受感染的猎物，它们对捕食者增长有较大影响。这个假设是根据对拉弗蒂和莫里斯[45]的实验数据分析得到的，他们发现受感染的猎物比未感染的猎物被捕食率高31倍。

本文的内容安排如下：第2节我们建立了要研究的模型；第3节我们对非时滞模型进行了分析；时滞模型的稳定性分析是在第4节；第5节我们讨论解的有界性，一致持续性和时滞模型的持久性；第6节中讨论各地规划平衡（其中易感猎物与受感染猎物共存）和内部平衡点的全局稳定性；第7节我们取一组参数进行数值计算，观察系统的动态特性；第8节是论文的结束。

2.模型

我们修改了由Sasmal和Chattopadhyay[9]提出的模型。众所周知，捕食者进食后，捕食者需要一些时间来消化食物才会有进一步活动。因此我们做了以下两个假设：

1.捕食者只捕获受感染的猎物。这个假设来自于拉弗蒂和莫里斯的实验数据[45];他们发现捕食者对已感染猎物的捕食速率比对易感猎物的捕食速率平均高出31倍。这使得我们可以忽略捕食者对易感猎物的捕食。

2.猎物被捕食者捕食后不会瞬间再生，而是有一定的时间T滞后于捕食(Tgt;0)。食物链的互动是由生物之间的喂养和捕食关系构成，因而在捕食后，猎物转换成捕食者的生物能量。但这个过程并不简单,猎物的能量到捕食者的能量这一转换过程不是瞬时的，有多个进程都参与了这一机制。该过程包括猎物进入捕食者的消化系统，消化过程是复杂且耗时的。消化后，将进入吸收过程，能量进入捕食者体内，被捕食的猎物最后转化为捕食者的生物能源形式。对于捕食者因妊娠产生的时间滞后的详细参数可以在古典书籍Gopalsamy [35]和邝[36]中找到。

因此，一个考虑了由捕食者消化食物和捕食者妊娠而产生的时滞，即带有时滞的服从弱阿里效应的有感染的食饵捕食者模型，可由下面的一组非线性微分方程给出：

但应注意的是，受感染的猎物没有贡献的再现，但与易感病的猎物竞争资源。我们考虑到疾病的传播服从质量作用定律，即捕食者服从霍林第Ⅰ类功能反应[46]。是阿里效应功能（称为弱阿里函数），这是寻找到伴侣的概率、 是捕食者的搜索效率[47-49]。更大的代表阿里效应更强，捕食者的增长速度更慢，特别是当捕食者个体数较少的时作用更加明显。假设是通过消耗受感染的猎物取得的效用，其中是捕食者的攻击速度，是从被感染的猎物中捕食者的转换效率。所有的变量和参数都是正的，在模型（2.1）中使用的变量和参数在表1中。

表1：模型中使用的变量与符号

变量/参数
	易感染猎物的比例
	受感染猎物的比例
	捕食者的比例
	捕食者的搜寻效率
	感染的速度
	捕食者的捕食速度
	被感染猎物的死亡率
	被感染猎物转化效率
	通过捕食受感染的猎物取得的效用
	捕食者的自然死亡率
	捕食者的妊娠时间

对于系统（2.1）采取的的初始条件：

其中 使得 ，表示将区间映射到中的所有连续函数构成的巴拿赫空间，中元素的范数定义为：

为了符合生物学的意义我们规定

3.对不含时滞系统的数学分析

我们首先研究没有时滞的系统（2.1），无捕食者因妊娠而产生时滞的系统（2.1）可以写成：

很容易知道系统（3.1）具有以下的边界平衡点：

具有内部平衡点 ，其中 ，，

而是二次方程= 0的根，如果是上述方程满足的正根，则内部平衡点存在。

3.1模型（3.1）的局部稳定性

我们将模型（3.1）的局部稳定性和平衡点的有关结论进行了总结，放在下面的表2中

表2：模型（3.1）局部稳定性

边界平衡	存在的条件	稳定条件
	总是存在	总是不稳定的
	总是存在
		当它存在，就稳定

证明：模型（3.1）在它的任何一个平衡点的雅克比矩阵都存在，形式如下

（3.2）

经过替换，代入方程（3.2）中，可以得到每一个平衡的特征值：

1.总是不稳定的，因为方程（3.2）在处的特征值如下所示：

和

2. 如果，是局部渐近稳定的，因方程（3.2）在的特征值如下：

3. 如果是局部渐近稳定的。方程（3.2）在的特征值如下

，并且其他两个特征值是下面方程的根

因此，如果，以上方程的两个根是负实数，或者有负实部的复共轭根。

模型（3.1）在它的内部平衡点处的雅克比矩阵如下所示：

（3.3）

它的特征方程如下：

（3.4）

其中是方程（3.4）的根。如果的实部都是负的，那么我们可以得到：

因此，内部平衡点是局部渐近稳定的，如果满足下列条件：

现在，我们可以看到

同样,我们简化表达式：

并知道，结合这两个方程，我们可以得到以上结论。

注：在我们的模型中，我们认为，捕食者不能捕获易感染的猎物;捕食者只捕食受感染的猎物。此外，对捕食者而言，没有替代的食物来源。因此，捕食者数量的可持续性取决于猎物疾病的持久性。如果猎物是无病的，那么系统将进入一种只有易感猎物存在的平衡，因为系统的灭绝平衡始终是不稳定的。此外，从共存的存在条件，我们可以很容易得出结论：在高的传染速率下，易感猎物的密度必须达到阈值以上（），以促进三个群体的共存。

表达式（3.5）的生物学意义可以写为：阿里效应足够大，使得它比以下表达式更大：

这里表示捕食者寻找食物资源的搜索效率。如果值增大，值减小。因此，忽略时滞，如果各个搜索效率不是太大，使得满足上述三个不等式，那么，我们的模型在内部平衡处是局部渐近趋向稳定的。此时可能的生物学解释是，捕食者搜索被感染的猎物的效率低（因为我们认为捕食者无法捕捉到健康的猎物）需要增加感染的猎物的数量，并帮助传播疾病的猎物种群，才能保持三个物种共存。另一方面，如果疾病传播速率增加，那么减少，可从被感染的猎物获取食物，帮助捕食者生存。此外，从其它两个不等式得知；首先，如果捕食者的死亡速率减小，那么的值将会减小，有利于三个物种共存。其次，如果转换效率提高，那么（减小，则有利于捕食者在环境中生存。

4. 对时滞模型的数学分析

在本节中，我们分析含时滞的模型（2.1）。在这里，我们要研究平衡点的稳定性，时滞微分方程（2.1）的持久性，交换稳定性和全局稳定性的存在，局部稳定性分析。

4.1 局部稳定性分析

令是系统（2.1）的任意的平衡点。系统（2.1）的线性的系统在是

（4.1）

那么，在任意的平衡点附近，时滞系统（2.1）的特征函数是

（4.2）

具有正的延迟动态系统的特征方程在内部平衡点降低到以下超越方程

（4.3）

其中

（4.4）

对于时滞的系统（2.1），如果相应的特征方程（4.3）的所有根都有负的实部，那么平衡点将逐渐稳定。但是，古典Routh Hurwitz判据不能用于用来研究该系统的稳定性。因为方程（4.3）是超越方程，因为它有无限多的特征值。为了确定平衡点的稳定性，我们所需要的是特征方程（4.3）的所有根的实部符号。

令是特征方程（4.3）的特征值，代替方程（4.3）中的值，我们可以得到实部和虚部，分别为

（4.5）

和

（4.6）

的稳定性变化的必要条件是特征方程（4.3）有纯虚数解。我们令方程（4.5）和（4.6）中。那么我们可以得到，

	（4.7）
	（4.8）

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