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一个稳定和自适应方法的反Q滤波

摘要

反Q滤波程序试图消除地球Q值的影响，因此提高地震分辨率，但数值不稳定的反Q滤波振幅补偿降低了信噪比(信噪比)和空间分辨率的限制。虽然截止频率法和约束稳定因子法可以控制数值不稳定性和信噪比，但其中截止频率法是一个和与地震无关的数据，与动态数据范围无关，它通常抑制高频率成分降低了地震分辨率。在本文中，我们专注于理解截止频率的影响，Q值和动态范围地震资料的地震分辨率，提出一种自适应增益反Q滤波振幅补偿方法。时变增益-限制自适应方法和自适应的截止频率有效适应地震数据；稳定因素的变化和自我适应的平方反比截止频率；然后，自适应方法可以恢复能量的有效频带和数值不稳定，控制周围的最后实现高分辨率和高信噪比地震资料。合成和真实数据的例子表明，该自适应反Q滤波补偿能量损失没有提高高频噪音，并产生理想的地震图像，拥有高分辨率和高信噪比。

关键词：反Q滤波 自适应 稳定因子

1介绍

地球反Q滤波与频率相关，振幅衰减和相位畸变（Futterman 1962；Kjartansson 1962；王，郭，2004），扭曲了地震子波和减少地震衰减。从理论上讲，可以极大地提高地震分辨率后消除时变子波的影响，如果我们能够准确地估计垂直地震剖面数据的品质因数（Hauge， 1981； Raikes and White，1984；Stainsby and Worthington，1985；Tonn，1989，1991；Pujol et al。，，1998；Blias， 2012；Zhang et al，2014； Wang， 2014）或表面地震数据（Clark et al。，2001；Wang，2004），并进一步用反Q滤波处理（Hale，1981，1982；Hargreaves and Calvert，1991；Bano、 1996；Wang、2002、2003、2006）在地震数据处理和迁移（Wang and Guo，2004b； Wang，2008）。
完整的反Q滤波包含相位校正和振幅补偿。此外，相位校正可以从速度色散纠正相位失真，而振幅补偿可以弥补衰减振幅，然后恢复地震分辨率。作为反Q滤波是反向前进波传播的过程(Robinson，1979)，因此它可以通过一个类似于地震反褶积方法(Hale，1981， 1982； Bickel and Natarajan，1985)或Stolt频率波数迁移(Hargreaves 和 Calvert，1991)。效率和稳定性两个反Q滤波的一般问题。考虑计算效率、Hargreaves 和Calvert (1991) 和Bano (1996)提出了复数反Q滤波纠正相位畸变的方法从速度色散和这些方法是无条件稳定(Robinson，1979， 1982；Bickel and Natarajan，1985)。然而，振幅补偿提高地震分辨率是至关重要的，它不应该被忽视，应该小心处理因为振幅补偿算子是一个指数函数的频率，因此，它可能会导致数值不稳定和地震数据生成不良信号。
为了控制数值不稳定性和信噪比(信号-噪声比)，Bickel和Natarajan(1985)提出了截止频率法(反Q滤波振幅补偿)的最大值限制截止频率的方法。为进一步控制数值不稳定性和信噪比，James 和 Knight (2003) 和 Wang (2006)提出了截止频率约束稳定系数的方法。反Q滤波振幅补偿功能截止频率约束稳定因素方法以分数的形式呈现，而James 和 Knight (2003) 添加了一个稳定的分母系数，和王(2006)添加了稳定的因素分母和分子。但获得限制在这些方法都是定常；当截止频率太小，这些方法可以控制数值不稳定和地震分辨率和信噪比，但是在以后减少；截止频率太大时，地震分辨率提高但牺牲了信噪比。

在本文中，我们首先解释的数值不稳定——基于反Q滤波理论振幅补偿和地震数据的动态范围。然后，我们描述了稳定因素反Q滤波James 和 Knight (2003) 的方法和显式地建立截止频率之间的关系和稳定因素的稳定因素James 和 Knight (2003) 的方法。之后，我们给截止频率地震分辨率增强，标准和使用合成数据测试，以验证它。然后，我们介绍一种新颖的自适应反Q滤波振幅补偿方法稳定因子法的基础上James 和 Knight (2003) 和增益-限制选择的标准。截止频率时变自适应方法和自适应的截止频率，通过地震资料的频带，以及稳定因素的变化和自适应截止频率的平方反比。最后，我们测试的自适应方法合成和真实的数据。

2反Q滤波理论基础

2.1反Q滤波基础

地球Q滤波可以基于一维波动方程。
（1）

在式（1）中，U(r，omega;)的平面波径向频率omega;的波仔深度r的振幅谱，k(w)是的波数，

其中

(2)

在式（2）中，，然后可以用式（3）来代替

（3）

在式（3）中表示参考频率w0的相速度，表示旅行时间增量。地球Q滤波在多价值的波速k中的定义为：

（4）

在式（4）中表示随频率变化的相速度，Q表示介质的品质因子。

（5）

将k的值代入（2），可以得出式（6）和反Q滤波基础（7）

（6）

（7）

然后反Q滤波的振幅补偿函数可以表示为

（8）

2.2反Q滤波的数值不稳定性

证明反Q滤波的数值不稳定性，我们考虑一个简单的合成示例图1所示，图1显示了合成跟踪，图1 b显示了地球的影响Q滤波恒Q(Q = 100)合成跟踪显示在图1，图1 c显示反Q滤波合成信号的结果显示在图1 b。反Q滤波过程纠正阶段和恢复振幅。然而，有很强的时间大于1 s，即使输入信号是无噪声的。

输出信号中噪声的出现基本反Q滤波过程的结果。噪声的来源主要来自三个方面。首先，地震波在地球Q滤波逐渐减弱，和超过一定时间，振幅会太弱，低于环境噪声水平。第二，背景噪音主要是相关的数值误差的最大动态范围的设备(例如，检波器和计算机)。因此，当振幅低于背景噪音，地震信号是埋在背景噪音；第三，信号处理(如的截断误差、傅里叶变换和傅里叶反变换)主要表现为终端工件(能够构件在地震信号的终端)。不幸的是，反Q滤波振幅补偿不仅复苏的信号，但也放大了环境噪声，背景噪音和终端设备。在无噪声的合成数据的情况下，背景噪音设备错误相对于存储精度。强烈的被认为是反Q滤波稳定性的数值。

3传统的稳定因素的反Q滤波

振幅补偿函数是一个指数函数的频率，它可能导致数值不稳定和地震数据生成理想的信号。为了控制数值不稳定性和信噪比，詹姆斯和骑士(2003)改变了振幅补偿功能到分数形式，并添加分母的稳定因素。在这里，我们考虑稳定因素反Q滤波，詹姆斯和骑士(2003)法作为传统的稳定因素的方法。

3.1传统的稳定因素反Q滤波振幅补偿的方法

传统的振幅补偿函数稳定因子法(詹姆斯和骑士，2003)可以表示为和反Q滤波的基础，S(t)

（9）

S1是振幅补偿函数，Q(t)介质品质因子在旅行时间t，beta;(一个小的稳定因素正数)和B(t，omega;，Q(t))是振幅补偿函数，基于式子（8）。

（10）

设置B(t，omega;，Q(t))作为一个独立变量，代入式（9）可以得出

（11）

在式（11）中

设置S1的导数为0，然后我们可以得到其解析解

（12）

在式（12）中是径向的频率峰值振幅补偿函数S1(omega;t，Q(t))。
如果我们定义一个常数c作为带限振幅补偿函数。

（13）

将式（12）和（13）代入式（9）可以得到

（14）

则有

（15）

根据式（15）和式（12）可以得到

（16）
因此式（9）可以表示为

（17）

根据式（10）和（13）可以得出

（18）

也就是说，这与地质因素、旅行时间和收益限制有关。当ns1大于 t时，振幅脉冲函数S1(t，Q(t))随着径向频率的增加而减小。
3.2增益控制提高地震分辨率的方法

根据式(18)，当控制增益太大，地震分辨率的提高，但以牺牲的信噪比；相比之下，当控制增益太小，地震分辨率在稍后的时间会退化。为了提高地震分辨率和信噪比的控制，我们可以得到

（19）

omega;p(t)的径向频率峰值后地震子波的振幅谱地球Q滤波；omega;d(t)的截止径向频率地震的有效频带小波在地球Q滤波和omega;d(t)ge;omega;p(t)；K是一个常数大于1。有不同的值小波不同的来源。

根据地球Q滤波，omega;p(t)是中等质量-密度相关因素，旅行时间，源子波的振幅谱，而omega;d(t)不仅是中等品质相关因素，旅行时间，源子波的振幅谱，而且动态范围的检波器。相比之下，omega;s1不是再保险，需要迟来的源子波的振幅谱和检波器的动态范围。因此，很难满足式（19）的要求。在任意时间，我们不能取得理想的效果的传统方法反Q滤波振幅补偿稳定因素。为了获得一个理想的结果，径向峰值频率，振幅补偿函数应该依赖于截止频率。

4自适应反Q滤波

4.1反Q滤波基于地震数据的动态范围的理论结果

我们假设U(t，omega;)源子波的振幅谱；U1(t，omega;)是地球Q滤波后振幅谱；U2(t，omega;)是地球后的振幅谱，反Q滤波虽然要考虑检波器的动态范围，和H(t，omega;)是检波器的背景噪音，然后有式（20）和（21）

（20）

（21）

理论上，地球后的地震子波Q滤波不能恢复到源小波由于地理的动态范围地震检波器，只有有效频带的能量可以完全恢复了。我们假设U3(t，omega;)理论振幅经过反Q滤波后频谱，然后有

（22）

当。我们将其带入式(22)得。
（23）
S3是反Q滤波振幅补偿公式

（24）

如果我们假设C（t）可以由增益控制反Q滤波振幅补偿公式S3表示

（25）
因此，反Q滤波振幅补偿函数S3(omega;t，Q(t))可以完全弥补代用能量有效频带和获取高分辨率和高信噪比地震资料，但是
（26）
这意味着U3在径向(t，omega;)截断频率omega;=omega;d(t)，它会导致截断误差由于吉布斯效应。

4.2反Q滤波的自适应方法

为了减小截断误差，获得理想的地震分辨率，反Q-lter振幅补偿函数S2(t，Q(t))在Eq中。(24)应满足两个要求:首先，S2(t，Q(t))应该是光滑的，连续的。
我们知道，当omega;Nomega;s1eth;tTHORN;，振幅补偿功能。S1(omega;t，Q(t))的传统方法稳定因素是光滑，连续，随径向频率的增加而降低，因此满足第一个要求，根据式（17）如果我们定义一个常数c/2作为控制增益大小，S2可以表示为

（27）

但是，为了实现第二个要求，应该有
（28）

可以化简为

（29）
因为c/2不等于c(t)，式（27）可以化简为
（30）

将式（25）代入式（30）可以得
（31）

因此

（32）
为了进一步减少吉布斯效应，最终实现最优地震分辨率，我们应该提高振幅补偿函数的连续性S3(omega;t，Q(t))。如果我们改变式（30）得
（33）

（34）
式(33)满足上述两个条件。然后，根据方程式。(24)和(34)，S3(omega;t，Q(t))可以表示为

（35）

其中c(t)是自适应的截止频率径向有效地震资料的频带，和1 / c2(t)的自适应稳定因子变化成反比的平方截止频率 c(t)。使用式子（9）、（10）和（25）、（35）可以表示为

（36）
wd(t)是自适应动态地震数据范围，然后式(36)可以被视为振幅补偿反Q滤波的自适应方法。自适应方法可以完全恢复能量有效的频带和抑制高频噪声之外的有效频带；因此，它可以产生最佳分辨率地震数据而不降低信噪比。方便，我们拥抱的动态范围地震数据的时变截止频率c(t)的自适应反Q滤波方法。

5合成实例
1.1合成示例1

演示截止频率和Q值的影响地震分辨率，我们现在这个合成的例子。我们反对，支持者的零相位雷克子波60 Hz峰值频率源小波，然后我们得到一个合成跟踪(图2)，和地球的结果反Q滤波振幅衰减常数Q = 50(图2 b)。传统的稳定因子法反Q滤波振幅补偿和小波分辨率分析实现。

图3显示了小波分辨率地球Q滤波振幅衰减，之前和之后，我们可以看到，地球Q滤波后小波分辨率下降。图。3 b显示了振幅补偿态度方法反Q滤波后，传统的稳定因素是15Hz，Wp=30pi;。

图4显示了信号之前和之后的传统方法反Q滤波振幅稳定的因素与不同的增益补偿——限制，我们可以看到截止频率约束反Q滤波振幅补偿不能完全恢复地球反Q滤波的能量损失。

图4 b显示了归一化前后秩序——信号作为omega;d(t)是自适应动态范围的地震数据，一对稳定因素截止频率反Q滤波振幅补偿方法不同。当截止频率t变化从20 dB

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