双轮自平衡车辆的非线性控制法外文翻译资料

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双轮自平衡车辆的非线性控制法

V. Madero,J. Aracil ，F. Gordillo

Dpto. de Ingenieracute; ıa de Sistemas y Automaacute;tica, Universidad de Sevilla

Camino de los Descubrimientos s/n, 41092, Sevilla, Spain

vmadero@cartuja.us.es

aracil@esi.us.es

gordillo@esi.us.es

摘要 - 本文提出了一种用于两轮自平衡车辆的非线性控制律的设计。 该设计基于转发并且给出Lyapunov函数，其允许我们获得对所得到的法律的吸引力的域的估计。

I.引言

自平衡系统正在经历着相当大的发展。他们被称为Segway的车辆流行。其围绕垂直位置的控制可以通过应用线性方法来研究并且不存在特殊问题。然而，当要解决与吸引力领域的增加相关的问题时，非线性方法的使用变得不可避免，并且问题获得了显着的困难。

为了研究这些问题，可以在关于倒立摆的研究所示的结果中寻求灵感，该装置与自平衡系统具有突出的特征，尽管它在很大程度上不同。在推车或旋转的Furuta摆上的倒立摆已经是在过去几十年的许多研究的主题。一些知名的钟摆相关设备有Furuta pendulum [1]，acrobot [2]，pendubot [3]，反应轮摆[4]，以及其他基于钟摆的车辆，如[5]。

自平衡车辆和倒立摆之间的区别在于，在第一个中，马达的轴同时是摆锤的枢转点，而在第二个中，摆锤围绕中心点。因此，本文提出了一个不同于倒立摆模型的动力学模型。两个模型之间的差异使得不可能将针对倒立摆获得的结果仅应用于自平衡系统的情况。此外，在本文中，仅考虑车辆沿着直线的运动。

尽管应用于这些车辆的线性控制规则具有良好的实际特征，但是可以对这些法则进行分析估计的吸引力的领域非常小，如在文献[6]中所证明的。在本文中，提出了一种新的非线性控制规则，其通过类似于用于控制非线性系统的转发方法的过程设计，因为如下面将讨论的，自平衡系统呈现适当的结构。对新控制器的吸引力域的分析也被暴露，并且通过使用[7]中提出的方法通过其Lyapunov函数与LQR法的吸引领域的估计进行比较。展示了这里提出的方法的优点。

本文将对无人驾驶自平衡车进行分析，作为设计控制器的基准。 一些模拟结果示出，其通过应用所描述的控制规则和用于该车辆的设计的特定参数而获得。

本文的结构如下。 在第二部分中，提出了移动模型。 在第三部分中，示出了用于系统的线性和非线性控制律的设计。 随后，在第四部分中，估计了两种设计的控制法的吸引力领域。 最后，在第五节中，给出了一些特定车辆设计的模拟结果。

II. 车辆建模

两轮车是倒立摆，其中枢转点与马达的轴匹配。 因此，由电动机施加的外部扭矩在车轮和摆上产生相同值的效果，但方向相反。 由车辆构成的系统由两个部分或子系统组成。 一方面，两个电动机，电子控制装置和其它辅助装置固定到框架以构成摆锤。另一方面，轮子固定到构成第二子系统的电动机的轴上。

让我们定义系统变量，摆和垂直线之间的倾斜角或偏差，摆的角速率，和电机轴的角速度。 这些变量如图1所示。

为了简化车辆的模型，我们可以假设整个摆锤组（框架，马达和其他元件）的质量为位于物理摆的重心上的准时质量。 因此，摆具有与轴分开距离l的质量m，其中存在以半径r和质量M r固定的两个轮。通过使用动力系统的拉格朗日和用于非保守力的欧拉 - 拉格朗日方法，这里已经省略了这些方法，以便不必要地扩展该解释，可以获得系统（1）和（2）的运动方程 。

其中g是重力常数，k是表示电动机的静摩擦的常数。

我们定义以下常量：

让我们考虑状态变量，和。 如果我们重新组合（1）和（2）中的项，我们获得（3），（4）和（5）中所示的系统的状态方程。

这里

通过部分线性化[8]定义为

获得系统的以下状态空间表示

由于这是一个设计用来作为控制规律的基准的原型，设计者有一些自由选择复合车辆的元素的尺寸。 作为这种自由的结果，我们可以强制eta;=alpha;修改参数集合，因此，描述（7），（8）和（9）中的系统的等式可以被简化为如（10） 11）和（12）。 以这种方式，控制法的设计过程预期更容易。

III.控制律设计

控制该系统的主要目的是在上部竖直位置稳定车辆（摆锤）。 为了实现这个目的，可以使用不同的控制策略。 本文将建立两种不同的控制规律，一种基于LQR（线性二次调节器）和一种基于转发的非线性控制律[9]。

1. 线性LQR法

LQR方法包括成本函数的最小化

其中Q和R分别惩罚状态变量和控制信号中的误差。

LQR控制器与系统的线性模型表示一起工作 = Ax Bu。 （10），（11）和（12）中所示的系统可以围绕原点x =（0,0,0）线性化，即期望的平衡点，以获得

使成本函数最小的控制律K是

B.非线性法

如前所述，系统具有上三角形结构，使得可以使用类似于前进的技术，因为系统匹配结构

通过分析系统的方程，可以用等式（10）和（11）识别下部子系统（17），而上部子系统（16）可以用（12）识别。

下层子系统可以证明是不稳定的。 这些技术要求xi;= a（xi;）是稳定的，并且为了实现这一点，需要使用先前的控制律

其中引入新的控制变量以稳定上子系统。

当应用上述控制律时，结果系统是

其中下部子系统（17）可以用等式（19）和（20）标识，并且上部子系统用等式（21）标识。 在这种情况下，的下层子系统是稳定的。 对应于 的系统是全局稳定的，因此可以应用转发技术。

由（19）和（20）组成的的子系统承认可以被认为是一种能量函数的不变函数。

让我们考虑下层子系统的不变函数（22）加上二次项nu;的和作为Lyapunov函数候选。 然后

其中rho;gt; 0是调谐参数。

控制律可以通过将整个系统的Lyapunov函数导数强制为负确定来获得。通过区分Lyapunov函数（23），结果

为了确保是负的，（24）中的第一项可以被迫为零，产生以下部分微分方程（PDE）

PDE的解决方案提供了一个新的不变函数

最后，我们可以计算控制律，确保，通过

结果是

系统（10），（11）和（12）的完全控制律是

IV. 稳定性分析

为了比较设计的控制规律，通过研究它们的吸引力的领域来进行稳定性分析。 研究线性情况下，不可能精确地测量吸引力的领域，因此必须估计。 可以比较每个控制定律的吸引力估计域。

1. LQR法的吸引力领域

当基于LQR的控制律应用于像这种车辆的强非线性系统时，不可能精确地知道吸引力的范围。 因此，必须估计域。 为了得到估计，我们必须找到保证稳定性的系统的Lyapunov函数的界限，并且吸引力的域将被表示为包含在界限内的V的最大水平表面中的区域。 以下结果基于[7]。

让我们考虑（14）围绕期望的平衡点由（10），（11）和（12）确定的系统的线性化。 线性化系统可以通过使用a来稳定LQR控制律。 法则u = -Kx使系统（14）不稳定并使系统（10），（11）和（12）局部稳定。 考虑到非线性系统的局部稳定性，可以根据随后将描述的过程为闭环系统确定局部吸引区域U。

其中a，b和c为正常数。

通过重写稳定系统作为线性部分加上非线性部分的加法，可以获得

由于系统A-BK是稳定的，因此Lyapunov方程

有一个解，P是正定的。

选择V = x⊤Px作为系统的Lyapunov函数，V通过系统的轨迹（31）的导数是

关注不平等的第二项的绝对值的表达式，它可以通过下一个不等式分为新的项

其中使用了下面的不等式

通过（34），并考虑则表达式可以使用不等式定界

因此，通过将（35）引入（33）和重新排列项，我们可以获得下一个约束。

让我们取一个满足的正常数参数

可以在该区域内确保不等式

让我们定义，其中lambda;min和lambda;max分别是矩阵P的最小和最大特征值。 具有正常数a，b和c的区域（30）满足

可以通过使用线性控制定律（15）来确保是（10），（11）和（12）中所示的系统的吸引力领域的估计。

对于任何，因此对于任何

推出

这说明。

B.非线性法的吸引力领域

为了研究系统（10），（11）和（12）与非线性控制律（29）的稳定性，我们集中在以下Lyapunov函数

其导数通过系统的轨迹

通过使用这个Lyapunov函数，可以证明系统的稳定性，因为该函数满足下面的条件

可以证明Lyapunov稳定性是因为是负半定数，但不可能证明渐近稳定性。 有必要使用LaSalle的不变原理证明最大不变集使得是原点。

强制，什么，通过（24），等价于，系统的残余动力学结果

通过（42），（43）和（44）的轨迹研究F的动力学，可以获得

对于和x 1 =plusmn;npi;，函数等于0，其中nisin;N，nge;1，并且对于值。 点的包含这些值表示作为不变集的成员的候选者。 由于这个条件要求x 2为常数，我们获得，从（43）可以得出结论：，这意味着矛盾。 因此，不属于不变集。

的点保证和。等于0的要求意味着，并且通过（45）确保。 原点是不变集的成员。

x 1 =plusmn;npi;的情况设置系统渐近稳定的局部区域的边界。 特别地，边界是x 1 =plusmn;pi;，其表示物理上相同的点，并且该点根据车辆的特性是不可达到的。

因此，该系统的最大不变集（在可行工作区）与平衡点x =（0,0,0））匹配，我们可以得出结论：系统是渐近稳定的，是吸引力有界域 （41）的满足x的最大电平面。

V.仿真结果

这项研究是与两轮自平衡车辆的建设联合开发，将用作基准证明所获得的结果。为了模拟系统行为，我们使用第II节中所示的车辆模型，其参数已经从设计的车辆实验确定。图2描述了车辆并且示出了硬件的轮廓。车辆由一个倒T形铝框架组成，两个电机固定在其下部，其轴同时是两个车轮的轴。示出了两个箱，其中用于实现系统（微控制器板，电动机控制器，无线发射器，电池和惯性测量单元）的控制的电子器件和传感器被放置以被适当地保护。车辆的初步版本如图1所示。设计的控制律可以编程到嵌入式微控制器的内存。因此，实验数据可以通过蓝牙串行连接报告给PC。

车辆的电子元件和辅助元件位于车轴附近，以这种方式，有效质心被降低。摆质量为3kg，其等效质心位于距离车辆13厘米的距离处。 该系统被设计为满足eta;=alpha;，这意味着车轮具有15cm的镭和每个0.5kg的质量。 表征模型的主要参数产生下一个值：alpha;= 0.1014，beta;= 0.0585和gamma;= 3.8259。 考虑参数的这些值，具有LQR定律的系统的吸引力的估计值导致，这是由于需要高度保守性而需要的吸引力的极小估计 数学上的稳定性。 另一方面，具有非线性定律的系统的吸引力的估计可以扩展到更大的李亚普诺夫水平面，使得控制定律在其内部定义。

为了使用两个控制定律来比较系统的吸引力的领域，可以计算区域的体积以具有可以比较的定量值。根据（39），椭球体界限 利用

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