基于响应面法的封闭箱形阻尼结构声学分析和优化

秦训鹏 王永亮 卢炽华 黄松 郑浩 申存锐

湖北省汽车零部件先进技术重点实验室,武汉,430070

中国湖北汽车零部件技术协同创新中心,武汉, 430070

武汉理工大学汽车工程学院,武汉,430070

摘要

本文采用了响应面方法（RSM）对一个封闭的箱形阻尼结构进行了结构声学分析和优化。声波的频率响应函数分析 ，即是求作用在结构上的单位简谐力和计算空腔的声压，用于得到临界频率。关于阻尼层面板厚度的声压水平的声学灵敏度分析可以用于去识别重要的变量。借助面向中心的复合设计，生成了一组高效的采样点，然后多个测定的调整系数被用于计算和验证在临界频率时声压响应的二阶多项式函数。在响应面函数被验证后，定量分析阻尼复合层板的厚度对声压的影响，并且进一步优化阻尼层板厚度，以尽量减少目标节点的声压响应。结果表明，使用 RSM，既节省了结构声学优化过程的计算时间，并又简化了优化过程。使用更少的阻尼材料能有效地控制目标节点的声压。

关键词：声振耦合 实验设计 响应面法 结构声学控制 阻尼厚度优化

1 引言：

壳体结构的工程应用有很多。汽车、飞机和潜艇的外壳是一些例子能够证明去评价一个封闭型腔中的结构声学是非常重要的。一般情况下，当这些薄壁结构被动力激发时，它们容易振动并且辐射噪声到客舱，特别是当激发频率接近壳结构或空气腔的固有频率时。因此，研究和控制壳结构的声音辐射是工程师的一个重要且有意义的任务。

结构声学^[1]是一个典型的声振耦合问题，其特征在于从振动板结构到封闭空腔中的声学噪声辐射。这种动态行为的基础物理控制可以由声频响应函数（AFRF）表示^[2]。在分析AFRF时，有限元模型（FE模型）经常被使用于分析体结构和腔体声学^[3,4]和混合有限边界元理论也经常被使用，在该理论中，边界元模型（BE模型）^[5-7] 用来代表空腔声学。为了控制振动和降低薄壁结构的噪声辐射，阻尼材料被广泛使用，并且关于这方面的文献非常的多。对于表面阻尼处理，为了描述不同类型的表面阻尼处理行为，文献^[8,9]分析了在动态载荷下的夹层粘弹性结构的响应。文献^[10,11]通过重新分配无约束阻尼层来降低来自板辐射的声功率。通过使用FE方法和面板声学贡献分析，韩^[12]在最佳位置粘贴同等厚度的阻尼层来改善内部声场。FE方法或BE方法已被应用于成功地计算振动声学问题，该问题是一种高度非线性过程，然而用于减小结构声学的优化算法是复杂且耗时的，特别是对于大量的复杂结构。

然而，如果RS模型的数学公式明显的接近物理学（被建模），响应面法（RSM）结合FE方法可以被用来有效地计算和优化振动声学问题。RSM是Box和Wilson在1951年首次提出的^[13]，并且Box和Hunter的文章^[14]概述了RSM的基本原理。即用在设计空间中严格选择的少量数据集拟合与输入和输出相关的响应表面函数（RS函数）。由于这些优势，RSM已经应用于许多研究领域，如实验设计(DOE)、和工程结构减振分析^[15,16]、火箭发射器的优化设计、失效的离合器拨叉或粘弹性阻尼结构 ^[17-19]、和频率响应函数计算的结构安全性和可靠性分析，屈曲分析或车辆侧面碰撞耐受性^[20-22]等。虽然RSM已成功被应用于减少结构振动（例如参考文献[15,16]）和分析声频响应函数（例如参考文献[6]），为控制结构声学的阻尼层的优化，也是一个和振动声学耦合问题，与该问题相关的文献是少量的。例如，参考文献[19]优化了粘弹性阻尼结构的几何参数和材料布局以减少振动，然而它不是耦合的振动声学问题并且没有使用RSM。文献[23,24]研究了声辐射功率与三个设计变量（即底板和阻尼板的厚度，底板的材料参数）之间的函数关系，并且有效地获得了振动板的声辐射水平，然而仅仅研究了结构的外部声学，没有考虑声辐射对结构振动的影响。

当前的文章部分受上述研究的启发，并且进行了相关的研究。RSM用于建立声压响应与阻尼层厚度之间的函数关系。AFRF分析和与阻尼层厚度相关的声压级的灵敏度分析被分别用于获得感兴趣的临界频率和设计因子。结合有限元法进行实验设计（DOE），获得建立的响应面模型（RS模型）的数据点。

2 响应面方法的基本理论

RS模型是元模型的统计近似，当处理待测试输入参数的更多构造，深入探索问题的解决方案时，可能是有用的。 构建的声振耦合问题的RS模型的过程如下所示。

2.1 响应面函数的构造

如果通过使用FE方法建立空腔中的声压，则由y表示的感兴趣的临界频率处的声压响应与通过使用声学灵敏度分析筛选出的阻尼层面板的厚度之间的关系可由向量x（x₁，x₂，...，x_k）表示：

其中ε是随机实验误差项，其平均值为零，f（x₁，x₂，...，x_k）是x的函数，其元素由幂和一定程度的x₁，x₂，...，x_k的幂的交叉乘积组成。对于许多实际工程应用，f（x₁，x₂，...，x_k）的多项式的阶数不大于三^{[15,20,25,26]}。根据二阶RS函数，f（x₁，x₂，...，x_k）表示为：

其中，alpha;是待求解的回归系数。为了估计未知参数矢量alpha;，进行一系列实验并且在特定设置下测量阻尼板的厚度的相应响应y。在第m个实验运行中，第i个阻尼板的厚度设置为x_i^（m）（i = 1.2，...，k，m = 1.2，...，n），y（m）表示相应的响应值。有：

等式（3）可以以矩阵形式重写为：

其中X是ntimes;p（p =（k 1）（k 2）/ 2）阶的矩阵，y =（y1，y2，...，yn）T，ε=（ε1，ε2，...，εn）^T，且alpha;=（alpha;0，alpha;1，...，alpha;ij）T。从等式 （4）和（4.1），应注意未知系数alpha;是（k 1）（k 2）/ 2，因此，为了估计这些参数，需要相等或更多数量的实验运行（即nge;p）。系数向量alpha;通常由给定的最小二乘估计法^[18,20]估计：

2.2 面对中心复合设计

DOE是实验运行的采集和整理，旨在以最少的资源和时间获得与项目目标最相关的信息，并且设计空间中的数据点的不良分布将显著降低拟合响应面的逼真度。因此，为了获得高保真声学响应表面，本文采用具有两个优点的面向中心复合设计（FCCD）选择数据点。第一个优点是，与中心复合设计（CCD）^[15,18,24]相比，FCCD的轴点被设置为级别1或-1，以将所有数据点严格限制在设计区域中（参见图1），并且更多细节见文献[16]。第二个优点是，与全因子设计（FFD）相比，FCCD的实验运行次数较少。例如，对于具有三因素三级的问题， FFD的实验运行次数为3^k = 27，而对于FCCD为2^k 2k 1 = 15。 FCCD的使用大大减少了所需的模拟数量并节省了计算成本。

轴点

图1.中心复合设计和面向中心复合设计（三因素三级）

2.3 RS模型的验证

根据FCCD，获得的设计因子的值和通过FE方法计算的相应声压响应，可以被用于构造RS模型。如果实际响应和构建的RS模型很好地拟合，则RS模型可以等效地替换物理学模型（被建模的）。多指标的调整系数（A-CMD）通常用于验证工程中的RS模型，数学公式由[17,26]中给出。

其中y（m）和y（m）分别是在第m次实验运行中使用FE方法和RS函数计算的声压响应， 是y的几何平均值。在方程（6）—（9）的帮助下，A-CMD的表述是：

为了良好的拟合，应该更接近1。

3．声振耦合系统的数值模型

为了促进结构声学的研究和通过使用RSM优化阻尼层面板的厚度，选择具有粘贴在上表面上带有阻尼层的盒状结构作为示例。声振耦合系统的数值模型由箱体结构，封闭空气腔和无约束粘弹性阻尼层组成。在进行声学分析之前，我们做出以下假设^[27]：空气是连续的理想流体，结构的振动位移小，满足结构振动和声压之间的线性关系。

3.1 结构和腔体的有限元模型

长600mm，宽500mm，高400mm和厚1.2mm的弹性均匀箱体由钢制作（杨氏模量E = 2.1times;10⁵MPa，质量密度rho;= 7.8times;10³kg / m3，泊松比mu;= 0.3，未考虑阻尼），并且四个顶点是简支的。空腔填充有空气（质量密度rho;= 1.2kg / m 3，波速C ₀ = 340m / s，未考虑阻尼）。粘结在结构上表面的阻尼层为3mm厚（杨氏模量E = 3.0times;103MPa，质量密度rho;= 1.4times;103kg / m3，泊松比mu;= 0.4，阻尼系数eta;= 0.3）。为了保证用于声学分析的FE方法的计算精度，在一个波长中包含至少六个有限元[28]。声波的波动方程为lambda;= v / f，其中lambda;，v和f分别是声波的波长，声速和频率。FE法在低频范围内具有高的声学分析精度^[3]，本文计算频率f_max的上限设置为200Hz。在空气温度15℃下，声速为340m / s，因此单元网格尺寸为Lle;v/（6f_max）= 0.283m。箱体结构和阻尼层被四个节点的壳单元划分网格，并且封闭空腔用六边实体单元建模。通过计算目标声节点的AFRF研究收敛性后，网格的平均尺寸最终设置为20times;20mm。箱体，阻尼层和空腔的有限元数量分别为3700750和15000。箱体结构的正常振动速度设为声学分析过程中空气腔有限元模型的边界条件。采用模态叠加法计算耦合模型。为了减少模态叠加法的截断误差，模态方法的结束频率至少是计算频率^[5]的上限的两倍，即是2fmax = 400Hz。声振耦合系统的有限元模型如图2所示。

阻尼层

空腔

图2 声振耦合系统的有限元模型

3.2 箱式阻尼结构的自由模态试验

为了验证FE模型的精度，我们对箱式阻尼结构进行自由模态试验，因为空气是轻质流体，结构体和空气腔之间的耦合是“弱”。通过使用多点锤击单点输出获得测试数据（见图3）。模态频率的结果列于表1中。显然，相对误差较小，这表明有限元模型对于以下计算是准确的。

阻尼层

锤

图3 箱式阻尼结构的自由模态试验

4．结构声学的RS模型

在本节中，通过使用上述理论，建立、验证箱式阻尼结构和空气腔的耦合系统的二阶RS模型，并且分析和优化结构声学。 研究按照以下步骤进行：

1）获得临界频率：应用AFRF分析，即结构上的单位简谐力和计算腔中的声压响应，以实现感兴趣的临界频率。

2）参数筛选：将粘贴在箱体上表面的阻尼层分成几块面板，每块面板的厚度为输入变量，然后对临界频率下相对于阻尼板厚度的声压响应进行

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