关于一类函数渐进性质及其应用外文翻译资料

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我们在解析函数的空间上考虑复合算子，这些算子在普通的哈代空间上是有界的，首先对于这样一个著名的事实我们给出一个初等证明。然后，对于更一般的空间，关于复合算子是内射还是外射这样一个问题，我们给出两种结果，并且为包括哈代空间在内的一类空间得到完整的答案。

设D表示开放的单位圆盘，H(D)表示所有的解析函数f：D→C的空间，对于我们定义：

和著名的哈代空间。在[2]中可以找到关于这些空间的一个拓展性研究。

对于一个分析自映射,我们考虑复合算子

D的一类特别的分析自映射就是D的分析自同构的群Aut（D），这个分析自映射我们将在理论二中来考虑。复合算子在过去的三十年里已经被频繁的研究（例如，cf.[1]和那里的借鉴）。基本的事实是：

THEOREM 1: 设 ，是D的一个分析自映射。然后，并且算子是有界的；算子范数满足

有这个理论的少数几个证明（例如，cf.[1]，推论3.7，p，123），最广泛使用Littlewood隶属准则和哈代空间的非平凡结果。我们将展示如何只通过初等的计算来得到最一般的定义。

Littlewood隶属准则（LSP）：设，是D的分析自映射，并且。然后对于所有的和

在[2]中，理论1.7，p.10,有一个初等的证明，以次调和函数的性质为基础。将LSP应用到一个合适的扩张，我们立刻获得下面的推论：

设g在一个邻域是解析的，并且，然后

定理一的证明：是显然的，因此，

现在设。为了对一个给定的函数估计，我们固定和。

因为是D的一个紧子集，有一个常数,任意接近于1，并且满足。因此是D的分析自映射。

设,是Blaschke联系因子，是恒等映射这是显然的（并且很容易推导）。对于我们有,因此

因为是D的一个自映射，并且，我们也许会应用LSP：

函数在一个邻域（）上是解析的，因此关于的LSP的推论可以用来替换

并且用取代（注）我们发现

因为我们可以选取任意一个接近于1的数，我们得到，对于所有和，

因此,并且在条件上是有界的。

为了证明更低的范数不等式，令,则,并且对所有的来说，成立。

我们现在转向更为普通的空间：

定理2：令和是的两个子空间并且设是D的一个解析自映射，例如。

1. 如果的维数大于1，则是内射，当且仅当不等于常数
2. 如果并且是满射，则

注意我们不需要或的任何范数。

证明：如果则对于所有的有，因此并且。因此如果,不可能是内射。现在令不等于常数并且假定对于一些而言有。则,也就是对所有的而言。因为恒等映射并且是满射，有一个函数且，因此，矛盾，因此是单页的，尤其对于非常数。

接下来假定不是满射，也就是说，有一个点，则在中没有零元，并且因此在D内存在一个解析平方根，因为显然是有界的，因此有一个函数使得，因此

也就是对于所有的有。

因为不恒为常数，由恒等定理得在上，因为中左手边的的一个零元一定是偶数次序的，从而得出矛盾。

将定理2应用到特定的空间我们得到一个完整的刻画：

推论：设是的一个子空间，，并且设是一个解析自映射，并且使得,则：

1. 算子是内射当且仅当常数.
2. 算子是满射当且仅当
3. 算子是可逆的当且仅当

在的情形下

假设是满足条件的，尤其对于哈代空间和D的任意的一个解析自映射。

可见[1],定理1.6,p.5，对于一个可替换的方法我们得到了一个与我们第三个断言相似的结果。

证明：我们可以用到定理2（显然），这给出了第二个断言的第一个也是唯一一个的部分。这表明，如果，算子有逆。这是显然的，因为对所有的，我们有，

因此， 。

鉴于定理1，假设对于和的任意分析自映射是满足的，这是很明显的。

鸣谢：我想要感谢德国卡尔斯鲁厄大学的Rudolf R.upp博士，他指出了定理2第二个断言的证明。

参考文献：

[1]Cowen,C,MacCluer,B,《解析函数空间上的复合算子》，CRC Press,Boca Raton,1995

[2]Duren,P.L: 《HP空间理论》，学术出版社，纽约1970

数学研究院

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MSC 1991:47 B 38

投稿日期：1996年7月31日

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