对“EXISTENCE OF OPTIMAL CONTROL FOR NONLINEAR MULTIPLE DELAY SYSTEM”的评论外文翻译资料

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应用.计算.数学.3(2014)，no.1，pp.67-72

对应

对“EXISTENCE OF OPTIMAL CONTROL FOR NONLINEAR MULTIPLE DELAY SYSTEM”的评论

FAZAL-UR-REHMAN

摘要 关于非线性多时滞系统的最优控制的存在性，在[1]中有一个二次函数的隐性导数，而在本文中有一个新的证明。在[1]中，不需要使用任何已经建立的不动点定理，只使用Darboux不动点定理就能得出证明。

简介

近年来，线性系统的最优控制的完善性，即使是在无限维空间中，也是可以得到的。然而，目前来说，非线性最优控制系统的发展还受到限制，而且任何的发展都取决于非线性的特殊类。对于不同类型的非线性系统的最优控制的研究，下面有几种不同的方法，其中，最常见的方法是基于下面几种理论的方法。

1. 非线性映射的不动点定理（详见[3]）
2. 向量场理论和李代数（详见[9]）
3. 摄动法（详见[4]）
4. 最大值原理（详见[11]）

关于适当方法的选择，取决于状态方程中非线性的类型。不动点方法在控制理论中解决许多问题的构想似乎是合适的，因为它具有建设性，而且提供了一种关联收敛理论。多种单值不动点定理是可以得到的，其中最受欢迎的是Schauder不动点定理[5]，巴拿赫压缩定理[2]，和Darboux不动点定理[8]。然而，在多值情况下，Boshnenblust-Karlin不动点理论[10]和Fan Fan不定点理论[6]是众所周知的。不定点方法已经被广泛地应用到微分方程的理论和数值方面，但是还没有被广泛地应用到控制系统的领域。

关于非线性多时滞系统的最优控制的存在性，它有一个隐性导数二次型指标，这已经被Balachandran用Darboux不动点定理证明了[1]。在本文中，我们将重新证明这个结论，不使用任何已经建立的不动点定理，这使得证明过程是自成体系的，而且变得简单。

1,问题摘要

考虑非线性的多时滞系统

=A(t)x(t) C(t)u(t) ,t, (1)

(2)

(3)

这里和是正式的单独控制向量,,是定义在适当区间上，适当面积的实连续矩阵，f是连续方程，是初始时间，和是特定的连续方程，和是正的常量，其中，。

代价泛函的最小化是由下式给出的：

(4)

其中是对称的正半定，和是对称的正半定,而且是连续的。

这里的问题是找出一个控制，这对于固定的最终时间和自由的最终状态，用来在（4）中减少代价泛函。

• 1. 一些准备工作[3]

令为度量空间，为的子集。定义

显然

，

令代表所有非闭空间和的有界子集，则是如上定义的度量的一个度量空间。众所周知（详见[7]），

令表示所有连续函数的空间，在上定义一个准则

。在这个准则下，是巴拿赫空间。

类似地，定义是连续可微函数的空间，这个函数是从，准则为。在这个准则下，也是巴拿赫空间。

定理1【1】

考虑非线性状态方程的连续性

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

和相关代价泛函的连续性

（10）

这里是任意连续方程，是对应矩阵的状态转移矩阵，其中 （11）

是对称的，而且是下列Riccati矩阵方程的正定解

（12）

其中边界条件为。

接下来定义*运算为

和

在这里满足

假设对于优化问题，其最优状态为，最优控制为。如果序列和分别一致收敛于函数和，则可以得到最优控制问题的最优状态和最优控制，这是由方程（1）-（3）给出的。

我们用一个不同于【1】的方法证明和的存在。

2，问题公式

对每一个固定的，考虑下面线性动态系统的连续性

（13）

其中相关代价泛函的连续性由（10）给出。

通过（12）可以得出线性系统（13）和（10）的最优控制是：

（14）

其中

（15）

（16）

而且

（17）

1. 中关于初始状态（8）的解决方案是由下式给出的

（18）

这里是（13）中齐次线性方程的基本矩阵解。

通过把（14）代入（18）可以得到

（19）

现在我们来证明存在性定理，这与[1]中给出的证明是不同的。

定理2

考虑非线性时滞系统

，

和相关代价泛函的连续性

在这里是任意连续函数，是对应矩阵的过渡矩阵，其中

是对称的，而且是下面Riccati矩阵方程的正定解

边界条件。

如果和所有矩阵是连续的，那么存在一个特殊的最优控制由下式给出

（20）

其中满足（15）和（16）。

证明

对每一个，在上定义一个非线性运算：

其中

由于运算中包含的所有函数都是连续的，所以是连续的。

令

显然且是巴拿赫空间的闭子集。

对每一个固定的，在上定义一个序列：，然后可知是一个柯西序列，而且收敛于一定的。由于是连续的，因此我们得到。

令使得，则

由此可得。

故存在一个特殊的使得

其中

其中满足（15），（16）和（20）中给出的条件。

3，总结

关于非线性多时滞系统的最优控制的存在性，它有一个隐性导数二次型指标，这在[1]中是用Darboux不动点定理证明的，而这里是与[1]中结论类似证明的。在本文中，我们没有使用任何已经建立的不动点定理，从而得出了结论，这使得证明过程是自成体系的，而且变得简单。

参考文献

[1] Balachandran,K.,Existance of Optimal Control for Nonlinear Multiple Delay System,Int.J.of Cont.V.49,N0.3,1989,pp.769-775.

[2] Balachandran,A.V.,Introduction to Optimization Theory in Hilbert Spaces,New York:Springer-Verlag,1977.

[3] Iseki,K.,Multi-valued Contraction mappings in complete metric spaces,Math Seminar Notes 2,1974,pp.45-90.

[4] Lukes,D.,Affine Feedback Controllability of Constant Coefficient Differential Equations,SIAM J.on Control and Optimization,23,1985 952-972.

[5] Mirza,K. and Womack,B.F.,On the Controllability of a Class of Nonlinear Systems,IEEE Transaction on Automatic Control,17,1972,pp.531-535.

[6] Naito，K.,Approximate Controllability of Control Systems Under Some Inequality Condition,J.of Control Theory and Advanced Technology,6,1987,103-109.

[7] Popa，V.,Common Fixed Points for Multifunction Satisfying a Rational Inequality,Kobe.J.Math.,2,1985,pp.23-28.

[8] Quinn,M.D. and Carmichael,N.,An approach to non-linear Control problems using fixed point method,degree theory and pseudo-inverses,Journal of Numerical Functional Analysis and Optimization,7(3),1985,pp.197-219.

[9] Sussmann,H.,On the Number of Directions Needed to Achieve Controllability,SIAM J.on Control and Optimization,13,1975,pp.414-419.

[10] Tarnove,I.,A Controllability Problem for Nonlinear Systems ed. by A.V.Balakrishnan and L.W.Neustadt,Mathematical Theory of Control,170-179,Academic Press,New York,1967.

[11] Warga,J.,Second Order Controllability and Opttimization with Ordinary Controls,SIAM J.on Control and Optimization,23,1985,pp.49-60.

[12] Yamamoto,Y.,Controllability of Nonlinear System,J.Math. Analysis Applied. 64,1978,pp.348-350.

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