范畴的大小外文翻译资料

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范畴论及应用Vol. 1, No. 9, 1995, pp. 174–178.

范畴的大小

PETER FREYD AND ROSS STREET

摘要： 本文旨在对如下问题给出一个简单证明：一个范畴等价于一个小范畴当且仅当该范畴和其预层范畴都是局部小的。

Ross Street在有关Yoneda结构[SW]的一次演讲（University of New South Wales, 1971）中，推测一个范畴?本质上是小的当且仅当范畴?和预层范畴??都是局部小的。而听众Peter Freyd在这场演讲结束后，运用他自己的一些结果建议了一个证明。这个记录在[SW]的第352页，并且诱导了集合中“小”的定义，然而这个证明并没有被发表。1976年至1977年间, Ross Street在Wesleyan(Middletown,Connecticut)大学学术休假， 本文所给出的证明来自于他们在此期间的通信。尽管有几次我们期望它可以作为练习出现在教材中，但这一证明至今还尚未公开发表.。

1979年，[F1]上出现有一个更长并且相关的证明。我们告知作者该证明的历史， 并给他发了我们的证明。在[F2]中提到了这件事，但是至此我们的证明还是没有发表。

现在事实上有了[RW]的应用，我们决定发表该证明。我们将我们的构造表达成适合推广到如参数化范畴等情形的形式[SS]。注意本文中“小”始终认为可以指“有限的”。

对范畴?中的对象A，我们令

Idem(A) =

表示A中的幂等集合。当Idem(A)对于所有的对象A是小集合时，称?有小幂等性。可以清楚看到每个局部小范畴（具有态射集合的范畴）有小幂等性。相反地我们将看到，如果二元乘积存在，那么小幂等性蕴含局部小性。

我们把小集合和它们之间的映射（作为态射）构成的范畴记作?。把所有函子F：??和它们之间自然变换（作为态射）构成的的范畴记作??。（我们处理??而不是预层范畴是因为这样可以避免引入逆变函子）

?中对象A的收缩对(m,r), 由态射组成， 其中rm=1_X。对象A的两个收缩对（m,r）,(n,s)在以下条件下成为等价的：若存在可逆态射使得m=nh和hr=s。我们把对象A的收缩对等价类[m,r]的集合写作Ret（A）。这样得到一个如下良好定义的单射：

把等价类[m,r]映成到幂等。所以如果Idem（A）是小的，则Ret（A）也是小的。为了我们的结果，实际上可以假定?中所有的幂等分裂；所以上面的单射事实上是双射，从而可以避免引入Ret。

如前面已经预示的， 我们可以用此证明：当范畴?有二元乘积时，小幂等等价于局部小。因为我们有单射：

?（A,B）Ret（AB）

把f：AB映成等价类[m,p]，其中，pm=1_A,qm=f,p:ABA ,q:ABB为投影。

一个分裂单射是一个具有左逆的态射。当有一个可逆使得nh=m时，称两个分裂单射,是等价的。一个映到A的分裂单射等价类[]被称作A的一个分裂子对象。把A分裂子对象的集合记作Ssub（A）。于是有良好定义的满射：

Ret(A)Ssub(A)

把等价类[m,r]映为分裂子对象[]，所以如果Ret(A)是小的，则Ssub(A)是小的。

因此，可以很清楚地从上面得出，如果?是小幂等的，则对于所有的范畴?中的对象A，Ssub(A)是小集合。在这种情况下我们定义一个函子：

T:??

在对象上由

TA=Ssub(A) {0}

定义；对于?中，映射Tf：由

（Tf）[]=

给出。利用结论“如果gfm有左逆元则fm同样也有左逆元”可以看出T是一个函子。

我们现在引入?中对象到T的自同态的映射theta;。我们来说明theta;可以被看做是一个映射，不是定义在对象上的而是定义在对象的同构类上， 且此时它是一个单射。该映射

theta;：obj??^?(T,T)

的定义如下：

对于每一个Kisin;objA，自然变换theta;K：T→T由:

(theta;K)A:TA→TA.

构成。其定义为：

(theta;K)A[m : X→A] =

明显地，KL表示着theta;K=theta;L，而逆命题也是正确的。因为，如果theta;K =theta;L，那么，

(theta;K)L[1 L : L→ L] = (theta;L)L[1 L : L → L] = [1 L : L → L]ne; 0;

所以，从(theta;K)L的定义可知LK。明显地有（theta;K）（theta;K）=theta;K，所以由theta;诱导出一个单射：

obj?/cong;→ Idem(T，T)

我们已经证明了：

定理：如果?和?^? 具有小幂等性则范畴?的对象的同构类集是小的。

推论：一个范畴?与一个小范畴等价当且仅当范畴?和?^?是局部小的。

问题：设想?是一个局部小的位相（site）使得范畴?的层范畴sh?是局部小的。由此是否可得sh?是一个Grothendieck拓扑斯(topos)？我们不得而知。注意，如果?上的Grothendieck拓扑的每个预层都是一个层，那么由上述推论?等价于一个小范畴。所以，Sh?在这种情况下是一个Grothendieck拓扑斯。

附注：为避免我们的函子T：??看起来很难理解，这里提供了T的两个构造来帮助读者理解。第一个构造要求有一些环绕集合论的理论基础，但能使得T更加易懂。第二个构造不使用选择公理，且没有用到大集合。

（1）设想范畴?是局部小的，每一个可表函子H_A=（A，—）：??有一个唯一的最大子函子M_A:??; 元素fisin;H_AB=?(A，B)是M_AB中的当且仅当它不是分裂单射。 令代表把与一个点做smash积的结果；就有可以由以下?^?中的推出来定义。

MA

H_A

1

K_A

这里1是终对象（即取值单点集——也用1来表示——的常函子）。函子能被看为取值在范畴?_*内的带标记点的小集合，这里1既是终对象也是始对象（共终端的）。注意对A相对于其不为收缩（retract）的对象，恰好将它们映为1。令Lambda;表示一个?中对象同构类的代表元集合。令

这里的求和指带标记点集和的余积。事实上，S在由小的带标记点集合构成的范畴?_*里取值，对所有的Bisin;?，在余积的项中只有一个小集合的项是非平凡的（因为是非平凡的当且仅当B是Ａ的一个收缩）。可以清楚看到Ｓ有至少和余积的项一样多的自同态，所以我们重新证明了之前的推论。

另外，之前定义的函子T是S的商。对每一个对象A，注意A的自同构的群Aut（A）右作用于（因为它按复合作用于和）。令表示“轨道空间”（即对于所有的B，J_AB = /Aut(A)）。这时就有带标记点集合取值的函子间的自然同构：

（2）假设?是小幂等的，现在我们来进行T的第二构造。有一个在每个集Idem（A）中的拟序在“图”中受幂等自然序列影响；拟序由以下定义：当e = e′e时e le; e′。让e asymp; e′生成等价关系；所以e asymp; e′也就是e = e′e和ee′ = e′。使得UA和空集一起成为等价类集（作为一个集合，UA是在拟序Idem（A）中第一个元素的自由部分序列）。对每个f : A → B,以及所有的元素Eisin; UA，定义关系Uf : UA → UB,

(Uf)(E) = {feu : u isin;?(B,A),isin; E,e isin; E}

可以证明U: ?→?是一个函子。对?中的每个对象X，让ϕ(X)成为U的自同态，其中，U的组成ϕ(X)A存在于A中，并将Eisin;UA代入UB的ϕ(X)A(E) = {xy : yx = 1_X,xyisin;E}里。

这里ϕ诱导出一个单射：

obj?/→ End(U)

我们的函子T对于U的子函子是同构的，也就是说，最小子函子包含所有自然变换ϕ(X)，X isin;?的图像。换句话说， U的子函子通过丢弃不分离的幂等元同构于T。

参考文献

[F1] Franccedil;ois Foltz, Leacute;gitimiteacute; des cateacute;gories de preacute;faisceaux, Diagrammes 1 (1979) F1F5.

[F2] Franccedil;ois Foltz, A propos de: “Leacute;gitimiteacute; des cateacute;gories de preacute;faisceaux”, Diagrammes 2 (1979) 1.

[ML] Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Math. 5 (Springer-Verlag, Berlin 1971).

[RW] Robert Rosebrugh and Richard Wood, An adjoint characterization of the category of sets, Proceedings AMS 122 (1994) 409-413.

[SS] Dietmar Schumacher and Ross Street, Some parametrized categorical concepts, Communications in Algebra 16 (1988) 2313-2347.

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