基于自适应小波阈值的图像去噪和压缩外文翻译资料

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基于自适应小波阈值的图像去噪和压缩

摘要：本文的第一部分提出了一种通过小波软阈值实现自适应数据驱动阈值的图像去噪算法。该阈值在贝叶斯框架中导出，以前使用的小波系数是广泛应用于图像处理的广义高斯分布（GGD）。我们所提出的阈值是简单且闭合的，并且其适应于每个子带，因为它是基于数据驱动的参数估计。实验结果表明我们所提出的方法，称为BayesShrink，对于已知图像的处理结果在最佳软阈值标准的5％的均方差以内。在大部分情况下，这个新的阈值也优于Donoho和Johnstone所提出的SureShrink。

本文的第二部分试图进一步验证最近学界提出的有损压缩可以用于去噪。 BayesShrink阈值有助于具有去噪用途的编码器设计的参数选择，从而实现去噪和压缩同时进行。具体地，压缩的量化步骤中的零区域类似于阈值函数中的阈值。基于Rissanen的最小描述长度（MDL）原理导出的标准来选择余下的编码器设计参数。实验表明，这种压缩方法确实显著地消除噪声，特别是对于大噪声功率。但是，它引入量化噪声，在去噪过程中，只有当比特率问题需要额外关注的时候才能用该方法。

索引术语 - 自适应方法，图像压缩，图像去噪，图像恢复，小波阈值。

I 绪论

图像在采集或传输过程中常被噪声破坏，去噪的目的是去除噪声，同时尽可能多地保留重要的信号特征。传统方式是用诸如维纳滤波的线性特点来实现去噪，最近在使用非线性技术的信号实现加性高斯白噪声去噪中出现了大量的文献。通过小波阈值或Donoho和Johnstone的收缩信号去噪的开创性工作已经表明，用于去噪的各种小波阈值化方案在极小值意义上具有接近最优的性质，并且在一维曲线估计的仿真研究中表现良好。实验表明，对于在贝索夫空间中近似函数的线性方法，具有更好的收敛速率。阈值处理是一种非线性技术，但因为它一次对一个小波系数进行操作，所以具体操作比较简单在[1], [4], [8]–[10], [12], [18], [19], [24], [27]–[29], [32], [33], [35] 和其中的参考文献提出了基于非线性小波基去噪的替代方法。

在一个看似无关的前沿课题中，有损压缩的去噪方法在一些文献中已经有所体现，例如[6], [5], [21], [25], [28]，明确地解决了关于压缩率的问题。这非常重要，因为任何实际的编码器必须假定有限的资源（例如比特）在其处置用于表示数据。其他工作[4], [12]–[16] 也解决了压缩和去噪之间的连接，特别是在非线性算法如数学框架中的小波阈值处理这一领域。然而，这些后面的工作不涉及量化和比特率：压缩来自减少非零小波系数的数量，而不是来自编码器的显式设计。使用有损压缩进行去噪在直观上可以有如下解释。 信号编码通常能够很简洁明了的表示出来。然而，白噪声不具有结构冗余，因此不容易压缩。良好的压缩方法可以提供用于区分信号和噪声的合适的模型。本文的讨论将限于基于小波的编码器，这些观点可以扩展到其他变换域编码器。当在检查阈值化和量化之间的相似性时，可以容易地看到有损压缩和去噪之间的具体联系，其中阈值化和量化是必要的。因此，具有零区的小波系数的量化是阈值函数的近似（参见图1）。假设零区外的量化不引入显著失真，那么基于小波的有损压缩便能实现去噪。 考虑到这一点，本文主要针对图像去噪和有损压缩的小波阈值化。选择的阈值帮助有损编码器选择其零区域，并且所得的编码器能实现同时去噪和压缩（如果期望这样的性质）。

图1 阈值函数可以通过使用零区域的量化来近似。

通过阈值处理小波系数的理论形式化滤波加性高斯噪声（零均值和标准偏差）是由Donoho和Johnstone[14]提出的.将小波系数与给定阈值进行比较、保持或修改（取决于阈值规则）。该阈值可以用来区分噪声的无效系数和重要信号结构组成的有效系数。阈值规则对于具有稀疏或近似稀疏表示的信号尤其有效。阈值化基本上创建了围绕零的区域，其中系数被认为是可忽略的。在这种情况下，阈值化系数被保持到全精度（即，没有量化）。最知名的阈值方法包括VisuShrink [14]和SureShrink [15]。这些阈值选择在函数空间（例如，Besov空间）上享有渐近极小最优性。然而，对于图像去噪， VisuShrink阈值会产生过度平滑的图像。这是因为它的阈值，（称为通用阈值，是噪声方差），由于其依赖于数量的样本，因此M可以无限大，. SureShrink是通用阈值和SURE阈值的混合，从最小化Stein的无偏风险估计器[30]，并与其他方法进行比较，结果可以通过本文提出的阈值软件可以进行比较。从Donoho和Johnstone的工作以来，已经有很多关于在统计学中找到非参数估计的阈值的研究。 然而，很少专门为图像量身定制的阈值。 在本文中，我们提出了一个框架，接近最佳阈值在这个框架中更适合图像去噪。这种方法可以正式描述为贝叶斯法，但这只是描述我们的数学公式，而不是我们的原理。该公式基于经验观察，即自然图像的子带中的小波系数通过通用的高斯分布（GGD）。这种观察在图像处理领域是很广泛的（例如，参见[20]，[22]，[23]，[29]，[34]，[36] 艺术形象编码器[20]，[22]，[36]。从该观察可以得出，平均MSE（在子带中）可以通过相应的贝叶斯平方误差风险来近似，其中GID作为预先以iid方式应用于每个子带。 也就是说，总和由积分近似。我们强调这是一个分析近似，我们的框架比假设小波系数是从GGD的iid绘制更宽。我们的目标是找到最小化这种贝叶斯风险的软阈值，我们称之为BayesShrink方法。提出的贝叶斯风险最小化是依赖于子带的。给定的信号是噪声是广义高斯分布的，通过数值计算发现软阈值的近似最佳阈值中是噪声方差和信号方差）。该阈值在GGD广泛参数范围内给出在最小风险的5％内的风险。为了实现同时去噪和压缩，非零阈值小波系数需要被量化。在编码器的GGD上使用均匀量化器和质心重建，这样的量化级和带宽的数量是决定性的，取决于Rissanen的最小描述长度（MDL）原理[26]。这个标准平衡了压缩率和失真，并产生了对操作的解释。在第二部分，介绍小波阈值思想。第II-A节解释了通过使具有平方差的贝叶斯风险最小化来导出BayesShrink阈值。基于MDL标准的有损压缩在第三部分中解释。几个测试图像的实验结果在第四节展示，并与SureShrink比较。为了与基于阈值估计的最佳性能进行比较，比较还包括OracleShrink，假设原始图像已知最佳软阈值估计，以及OracleThresh，最好的硬阈值对应。 BayesShrink方法的MSE通常在OracleShrink的5％以内，并且在大多数时间内优于SureShrink高达8％的MSE，或者如果更糟的话在1％以内。此外，BayesShrink阈值非常容易计算。 BayesShrink与额外的基于MDL的压缩，如预期，引入量化噪声到图像。特别是当它很小时，这种失真可以抵消通过阈值处理实现的去噪。然而，对于较大的值，由于有损压缩的MSE仍然显著低于噪声图像的MSE，使用较少的比特来对图像进行编码能实现去噪和压缩。

II． 波段阈值和阈值选择

让信号为其中N是2的整数次幂。它已经被加性噪声损坏，已知

（1）

其中{}是独立和相同分布的，目标是去除{}噪声，并且获得使均方误差（MSE）最小化的估计，

MSE{}= (2)

图2 2D正交小波变换的子带。

让，和; 即，粗体字母将表示所考虑的信号的矩阵表示。令表示小波系数的矩阵，其中W是二维二进正交小波变换算子，对于二维正交小波变换的细节，参考文献[23]，[31]。 方便地标记变换的子带，如图2所示。子带，，，J被称为细节，其中k是刻度， J是分解中的最大（或最粗）的刻度，并且刻度k的子带大小为. 子带是低分辨率残差，J通常选择足够大的值，使得和。 注意，由于变换是正交的，所以也是分布。小波阈值去噪方法就是用具有阈值函数的细节子带对每个系数进行滤波（稍后解释）以获得

去噪估计是，其中是逆小波变换算子。

经常使用两种阈值方法： 软阈值函数（也称为收缩函数）

(3)

采取参数，并将其收缩到零到阈值.

另一个流行的替代方案是硬阈值函数

(4)

如果它大于阈值A，则保持输入; 否则，将其设置为零。小波阈值处理通过限制细节子带的小波系数来消除噪声，同时保持低分辨率系数不变。

由于若干原因，选择软阈值规则是基于硬阈值。 首先，软阈值已显示在大范围的Besov空间中实现接近最佳的最小最大速率[12]，[14]。 第二，对于在本工作中假定的广义高斯分布，软阈值误差要小于硬阈值误差（将在本节后面显示）。在实践中，因为硬阈值是不连续的，所以软阈值处理后的图像效果要比硬阈值处理效果更好，特别是当噪声能量很大时，硬阈值处理会产生伪影。 在下文中，软阈值将是主要焦点。虽然阈值处理的想法简单有效，但找到一个良好的阈值不是一个容易的任务。 对于一维（1D）长度的确定性信号，Donoho和Johnstone [14]提出了VisuShrink的通用阈值这导致在最小值意义上的估计器渐近最佳（最小化所有可能的M样本信号上的最大误差）。另一个值得注意的阈值是SURE阈值[15]，通过在使用软阈值时最小化Stein的无偏风险估计[30]得出。SureShrink方法是通用和SURE阈值的混合，其选择取决于特定子带的能量[15]。SURE阈值是数据驱动的，不依赖于M显式，并且SureShrink以子带自适应方式估计它。此外，SureShrink已产生良好的图像去噪性能，并接近最佳软阈值估计的真实最小MSE（参见[4]，[12]），因此将主要用于与我们所提出的的方法的比较。

在统计贝叶斯中，许多著作集中于基于先验（例如拉普拉斯算子和高斯混合）导出最佳阈值（或收缩因子）（参见[1]，[8]，[9] ，[24]，[27]，[29]，[32]，[35]）。通过对如先前所讨论的逐像素的MSE失真测量的积分近似，这里的公式也是用于在广义高斯先验下找到最佳软阈值规则的贝叶斯。相关工作是[27]，其中对具有拉普拉斯和高斯分布的信号调查硬阈值规则。 GGD已被用于许多基于子波段或小波的图像处理应用[2]，[20]，[22]，[23]，[29]，[34]，[36]。在[29]中，观察到形状参数范围从0.5到1 [参见（1）]的GGD可以充分地描述大型自然图像的小波系数。我们的图像经验支持相同的结论。图3表示出了图1所示的图像的小波系数的直方图。对于广义高斯曲线，使用参数标记（参数的估计将在后面的文本中解释）。可以向前设置启发式来解释为什么存在大量“小”系数，但是具有相对少的“大”系数，GGD暗示：小的对应于自然图像中的平滑区域，大的对应于边缘或纹理。

A.适应性阈值BayesShrinkGGD，遵循[20]，是

)=C(){} (5)

其中

且C()=

图3 四个测试图像的小波系数的直方图。对于每个图像，从上到下，它是精细的粗尺度：从左到右，它们分别是HH，HL和LH子带。

其中是伽马函数， 该参数是标准偏差，是形状参数。对于给定的参数集合，目标是找到使得贝叶斯风险最小化的软阈值，

其中=，而表示最佳阈值

其中。其是参数和beta;的函数。已知对于所选择的先验，没有T*的闭合形式解，因此使用数值计算来找到其值。在研究一般情况之前，考虑GGD的两个特殊情况：高斯（beta;=2）和拉普拉斯（beta;=1）分布. 拉普拉斯案例特别有趣，因为它在分析上更容易处理，并且经常用于图像处理应用中。

情况1：（高斯）X与beta;=2直接验证：

(8)

(9)

其中

-2T(1 ) (10)

与标准正常密度函数和生存功能的标准正常

图4 高斯先前的阈值，sigma;= 1。（a）将最佳阈值T*(sigma;x,2)（实线 - ）和阈值TB(sigma;x)（虚线）与标准偏差sigma; 在水平轴上。 TB比较使用最佳软阈值（ - ），T用于软阈值（sigma;）和最佳硬阈值（ - - - ）的风险。

假设目前sigma;=1，对于不同的sigma;x值，找到T*(sigma;x,2)的值, 并在图2中针对sigma;x绘制。

(11)

叠加在上面。很明显，这个简单和封闭形式的表达式，TB(sigma;x) 是非常接近数字找到的T*(sigma;x,2)。 T*(sigma;x,2)和TB(sigma;x)的预期风险如图1所示。4（b）为sigma;=1，其中r()的最大偏差小于最佳风险的1％。r(T*())对于一般的T，可以看到（11）成为

(12)

为了进一步比较，还需要计算硬阈值的风险。在一些代数之后，可以表明硬阈值的风险是 ().

() (13)

通过将（13）的导数设置为零，发现最佳阈值

（14）

与相关风险

(15)

图4（b）示出了最优和近最优软阈值估计器和实现了比最佳硬阈值估计器更低的风险。

阈值TB=sigma;^2/sigma;X不仅近似最优，而且非常直观。归一化阈值Tb/sigma;与X的标准偏差sigma;成反比，并与噪声标准偏差sigma;成比例. 当sigma;/sigma;xle;1，信号比噪声强得多时，Tb/sigma;被选择为小以便保留大部分信号并去除一些噪声; 反之亦然，当sigma;/sigma;Xge;1时，噪声占主导，并且归一化阈值被选择为大以去除已经淹没

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