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用于帕累托杂波模型的恒虚警率检测器

Graham Victor Weinberg

澳大利亚国防科学技术组织电子战与雷达分部

1. mail: Graham.Weinberg@dsto.defence.gov.au

摘要：帕累托分布最近被引入雷达社区作为X波段高分辨率海杂波回波的合适模型。这种强度杂波模型是一个简单的双参数幂律分布。因此，重要的是要考虑对嵌入在这种杂波中的目标的恒虚警率检测过程的发展。结果表明，一个简单的函数变换可以产生这样的检测方案，其虚警概率和阈值通过简单的解析表达式来关联。这些关系本质上与高斯检测对应。将引入三个探测器，并在均匀和异质杂波环境中对它们的性能进行分析。在训练室干扰目标的效果。

1 介绍

恒虚警率（CFAR）雷达检测是一种用于检测杂波中嵌入目标的自适应过程的设计。其目的是响应于杂波统计的不确定性，通过自适应地调整检测阈值来控制虚警率。具体而言，对于设置虚警概率的测试单元测量值与标准化杂波水平的测量值进行比较。这个归一化常数称为检测阈值乘法器。如果测试测量超过该估计杂波强度，则在测试单元（CUT）中声明目标信号。假设振幅平方，或强度，已经获得了测量结果，CUT已经进行了切割从杂波测量中分离出来。参见Minkler和Minkler对CFAR检测方案的更详细的描述。在整个文献中，针对每一个雷达杂波模型，从高斯、对数正态、和Weibull引入了CFAR过程，通过了K和KK分布。

帕累托分布最近已被证实为高分辨率雷达海杂波回波模型。这包括低入射余角和高入射余角的情况。已经表明，该模型非常适合实际数据，优于传统的模型，如对数正态和Weibull，以及现代模型，如K分布。此外，已经发现适合于将KK分布引入到模型中的数据。它适合于水平极化X波段雷达杂波返回的上尾部区域。在帕累托分布杂波中嵌入了目标的相干多视雷达检测，其中包括广义似然比测试检测器和白化匹配滤波器的比较。帕累托分布嵌入球不变随机过程（SIRP），这使得决策规则得以确定。帕累托分布显示为线性阈值检测器最优的复合高斯模型的强度分布。帕累托分布在雷达上的其他最近应用包括[12, 13 ]的工作，它使用极值理论的事实，任何分布的尾部都可以被建模为广义帕累托分布。因此，针对帕累托分布杂波中的目标，导出了CFAR过程。然而，所产生的阈值/虚警概率关系依赖于两个帕累托参数，这是一个显著的缺点。在帕累托〔14〕中概述了构造贝叶斯恒虚警检测器的贝叶斯方法，但是所得到的门限/虚警概率关系不适用于数值方法。相干雷达探测对于帕累托分布，也曾在[15 ]中考虑，从具有逆伽马纹理的复合高斯模型的角度考虑。结果表明，对于相干检测方案，CFAR性质一般不成立。然而，这是通过引入一些条件来解决的，在该条件下可以产生CFAR过程。

由于帕累托分布在雷达中越来越受关注，因此对CFAR决策规则进行更多的检查是很重要的细节。本文将介绍一种新颖的方法来处理这种情况下的帕累托分布杂波，使用一个简单的转换。后者将虚警概率和阈值关系映射到高斯杂波情况下的等价关系。这些决策规则生成CFAR控制，但是检测器的形式不同于传统CFAR决策规则。这种方法的一个优点是消除了对帕累托形状参数的依赖，这不是传统CFAR考虑时的情况。

三个CFAR过程将被检查，这与单元平均，最小阶统计量和最大阶统计量CFAR。它们的性能将在均匀杂波的情况下检查，以及它们在杂波转换期间的行为，此外，将检查干扰目标在训练室中的影响。

本文的组织如下，第2节介绍了帕累托分布，并考察了它的一些重要性质。第3节涉及三个CFAR决策规则的推导。结果表明，它们通过显式构造虚警和门限关系来满足CFAR属性。第4节研究了均匀杂波下的CFAR性能。这是通过检测作为信号与杂波强度函数的检测概率来完成的。第5节检查当干扰目标存在于训练单元中时的CFAR行为。此外，研究了训练单元中杂波转换的影响，对于训练单元和CUT被高功率杂波返回缓慢饱和的情况。 包括在CFAR训练单元中也存在干扰目标时，杂波转换期间的CFAR性能。

对数理统计的有用参考是[16]，而[17]对于统计分布特性是有用的。 P将被用来表示概率，E是统计平均值，var是方差，均与P有关。符号X =d Y将用于指定两个随机变量X和Y，在共同的支持下，共享相同的概率分布函数。

2 帕累托分布

帕累托分布受幂律密度支配，该幂律密度有远离零的非负支撑〔16〕。它是雷达中的强度（或振幅平方）分布。给出了具有正形状参数alpha;和正尺度参数beta;的帕累托分布的密度。对于tgt;=beta;，为零。我们通过编写随机变量x= d Pa（a，b），累积分布函数由下式提供。对于tgt;=beta;，为零。形状参数支配分布尾部的下降率，而刻度参数指示支撑从何处开始。如果我们定义了一个随机变量y=（x/beta;），那么不难证明y=D PA（A，1）。因此，对于真实的数据集，beta;可以通过杂波返回的最小值来估计。在国防科学技术组织（DSTO）IGNARA数据中，已经用于数值分析跟随，已经观察到这个最小值是非零的。最小值的缩放版本产生最小方差无偏估计〔16〕。在数据可以包括零值的情况下，可以使用广义帕累托分布，如在[8 ]中所概述的那样，这允许杂波模型的支持从零开始。x= d Pa（a，b）的均值和方差由下式展示，对于有限的一阶和二阶矩，一个要求alpha;＞2。在所有的DSTO数据中，已经发现这是案例[9]。关于帕累托分布的一个有趣的重要事实被放在以下技术结果中。在这里y= d EXP（a）是指数随机分布。具有参数alpha;的变量，其概率密度函数由下式提供，对于tgt;=0。

引理2.1：如果Y是密度（4）的指数型随机变量，beta;为0，则为随机变量,。

引理2.1的证明很容易通过构造X的分布函数来证明，指数分布具有自然联系。

帕累托分布的另一个重要性质是事实，一个随机样本的最小阶统计量帕累托分布也是帕累托分布的：引理2.2：对于独立同分布随机变量x1，x2，hellip;，xn，最小阶统计量随机变量x（1）。

证明是通过直接评估分布函数，我们现在转向CFAR方案的构建，用于考虑的场景。这个问题的关键是引理2.1的应用。

3 CFAR算法：均匀杂波情形

3.1 介绍

首先，概述CFAR过程的基本公式。假设我们有一个标准的CFAR方案，使用N杂波强度测量x1，x2，hellip;，xn，处理这些n的杂波测量函数f统计产生杂波的非负估计水平，一般来说，假定杂波统计是独立的和相同分布的，并且也独立于割统计量Z。我们要测试割是否只包含杂波（表示零假设，H0）或者它是否包含T。ARGET签名（替代假设H1），然后CFAR决策规则的形式是,其中y:= f（x1，x2，hellip;，xn）和TAh是CFAR阈值。乘法器，和（5）中使用的符号意味着我们拒绝零假设：当且仅当Z＞y时，CFAR（CA-CFAR），函数f是一个和。

在CFAR，虚警概率设置为期望水平，由此，如果没有找到闭合形式关系，则可以使用数值方法来估计检测阈值乘数。

对于CFAR控制的一个主要要求是，虚警概率和阈值乘法器可以通过与杂波参数无关的表达式来关联（18, 19）。当这样的关系成立时，检测方案（5）被称为具有CFAR属性。

为了说明获得这一要求的困难，考虑简单最小阶统计量检测方案。我们假设回报是独立的帕累托随机变量。通过应用引理2.1和2.2，给出了检测方案（5）的虚警概率。

因此，从（7）可以清楚地看出，最小阶统计杂波测量的检测方案（5）不会引起CFAR过程。在其他杂波模型上下文中，该问题的解决方案包括引入最大似然估计过程以在检测之前估计这些杂波参数[5, 20 ]。在下一个小节中，将展示如何在帕累托的情况下克服这个困难。权衡将引入一个新的非标准CFAR统计。

3.2 CFAR1：几何平均变量

假设z是我们的切口的强度测量值，以及独立杂波样本是{x1，x2，hellip;，xn}。考虑一下决策规则。对于某些固定的＞0。此决策不采取传统的CFAR方案（5）。主要区别是阈值乘法器也对杂波测量函数起作用。在这种情况下，后者是几何平均值。观察到不是阈值乘数。此外，该方案依赖于尺度参数beta;。后者可以如在[20 ]中使用最大似然过程来估计。或者，可以对杂波数据返回进行缩放，使得beta;＝1。无论哪种方式，控制分布尾部的形状参数alpha;都不在（8）中是有用的。将显示，方案（8）允许通过直接计算虚警概率来控制CFAR控制。

由于自然对数是一个递增函数，因此，由引理2.2，除此之外，其结果是（9）中的独立指数随机变量具有参数n和alpha;的分布。因此，使用用于高斯强度测量的CA-CFAR的等效结果（参见〔1〕）。由此可见，虚警概率简化为下式。显示决策规则（8）实际上是CFAR过程。因此，CFAR控制可以使用（10）一起实现，使用公式（8）。对应的检测概率的计算是数学上涉及的，并且取决于假定的目标模型。假定整个目标在复域中作为高斯过程或Swerling 1目标模型波动。密度的gamma;分布为下式，w大于0，并定义累加累加，分布函数然后通过W上的调节，可以写入检测概率。

其中变换已被应用。推导一个有用的结果，必须构造Z的CCDF。由于杂波测量和测试单元在强度域中，我们首先通过在复杂域中指定目标模型，连同帕累托SIRP开始。让s成为一维（1D）信号域，并假设其同相和正交分量是独立的高斯随机变量，具有零均值和方差（(1/2lambda;)，对于一些lambda;＞0。我们也将假定此信号与杂波模型无关。帕累托SIRP是在[10 ]中指定的；因此，假设C＝Theta;G，其中，Theta;是具有密度的非负随机变量。假设G也是一个2D高斯过程，其同相和正交分量是一些均值mu;＞0的零均值和方差（1/2mu;）的独立高斯随机变量。c是帕累托SIRP，由于高斯过程的可加性，我们观察到(s c)| {Theta; = theta;}是一个零均值二元高斯随机变量，协方差矩阵为下式。通过取模平方，利用2个随机变量的性质，可以看出公式，因此，使用条件概率可得到，其中应用了变换来简化积分。由可见，（14）是Z的CCDF，现在可以应用到（12），产生二重积分。

这种检测概率可以用数值计算。

积分，首先通过将变量转化为变量W，将包含W的积分转换为单位区间上的一个积分。然后将双积分作为两个二重积分的和，通过对第二变量U的V＝（1／U）的变换，两个二重积分在两个单位区间的乘积空间上。这大大促进了数值评估。

3.3 CFAR2：最小阶统计量的函数

一个二元方程是如下的公式，其中＞0是固定的，x（1）是最小阶统计量。我们表明（16）承认CFAR控制如下。它的误报警概率如下公式。在H0下，（17）中的第一随机变量是指数型的。分布参数alpha;，从引理2.2来看，（17）中的第二随机变量也是指数分布的，但具有参数alpha;n。因此，通过直接评价（或类似于高斯情形），很容易显示。表明检测方案（16）确实具有CFAR性质。 检测概率可以用与推导式（15）相似的方式导出。 请注意，首先应用对数转换。应用变换与（14）一起，不难到达下式的结果。这个检测概率可以写成单位乘积间隔的两个双重积分的和，通过在u上写积分作为[0,1]和[1，infin;]上的一个积分，并且将变量改变为v =（1 / u）在第二个区间积分，以帮助对这个检测概率进行数值评估。

3.4 CFAR3最大阶统计量的函数

第三种方案是基于最大阶统计量的，定义为下式。对于不变的＞0，当X（n）＝max {x1，x2，hellip;，xn}。如前所述，通过构造虚警概率将显示（21）实现CFAR控制。显然，我们需要最大阶统计量的分布函数。使用独立和同分布的假设，如下所示。其中变量的变化为已被利用。因此，（21）满足CFAR性质。对于给定的虚警概率，将该积分简化为一系列，并找到它的根来确定相应的是更有效的。使用二项式展开，可以表明（24）可以减少到下式。检测的概率与以前一样计算。特别是，通过调节最大X（n），并使用它的密度是由下式显示。如前所述，（27）中的二重积分可以被重新刻划，并作为单位乘积区间上的两个二重积分的和，以帮助评估（27）数值。

4 均匀杂波中的探测器性能

现在介绍了三种CFAR方案的性能。在本节中，仅考虑均匀杂波的情况。在检查性能曲线之前，给出了关于DSTO数据集的杂波参数估计的一些意见。

4.1 Ingara 数据

DSOT Ingara数据是DSTO在2004进行的一系列高分辨率入射余角海洋杂波回波。Ingara雷达在X波段工作，并且是完全极化的。这项试验是在南澳大利亚林肯港以南100公里处的南大洋进行的。雷达的细节可以在[21 ]中找到，而雷达杂波的试验和分析的概要可以在[7, 22, 23 ]中找到。该数据已被纳入杂波分析和检测性能有关的帕累托分布在[9, 10 ]。

数据是通过多次运行获得的，在每一个这样的运行中，在5°扇区中扫描360°方位角。迎风方向为~227°，是最强杂波点。在帕累托（9）中已经报道了对Ingara数据集的拟合的广泛分析。相对于Ingara数据，已经对帕累托参数进行了多个观测。已经发现，尺度参数的

总是小于统一。具体地说，已经观察到水平极化的情况，即形状参数趋向于介于2和5之间，具有尺度参数在0.001到0.05之间。对于垂直极化的情况，形状参数趋向于大（在6和15之间），而标度参数介于0.1和0.5之间。

4.2 检测性能曲线

检测器性能现在被评估，使用检测概率作为信号杂波强度曲线的函数。作为性能基准，包括一个理想的CFAR的检测曲线，它知道杂波参数，因此不需要对杂波电平的估计。这转化为一个阈值决策规则，如[24 ]中所概述的。在这种情况下，阈值（）与虚警概率有关。此外，检测性能与电池平均值是一致的。检测器（CA-CFAR），最大CFAR（Max CFAR）和截尾平均（Cens-CFAR）。这三个标准CFAR都需要对杂波参数的了解，因此不真正地充当真正的CFAR过程。它们只是为了比较目的而被包括在内。被审查的平均从训练室平均总和中去除最大值和

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