电介质球的共振谱外文翻译资料

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电介质球的共振谱

Peter R. Conwell

物理系，犹他大学，盐湖城，犹他84112

Peter W. Barber

电机与计算机工程系，克拉克森学院，波茨坦，纽约13676

Craig K. Rushforth


电气工程系，犹他大学，盐湖城，犹他84112

1983年6月3日收到文章；1983年9月12日接受文章

本文计算了在折射率为1.4的情况下，尺度参数为1～50的电介质球体的与电磁模式相关的自然谐振频率和极点。在复平面上确定极点位置需要计算大型复杂参数的球贝塞尔函数。符号编程语言REDUCE被用来独立验证在这些计算中所需的数值贝塞尔函数程序的收敛性和准确性。为了确定极点位置，我们使用了一个标准的零查找程序来寻找散射系数的分母的零点。此外，我们还使用了一个独立的零计数程序，与查找程序相结合，以确保在复平面的给定区域内的所有极点都被找到。计算出的极点的实部与共振峰的峰值位置一致（计算实频激励），而虚部则与这些峰的宽度有关。球体内部的场强在整个球面角度上求平均值，表现为半径的函数。当粒子在共振中激发时，内部的场强在球体表面附近出现一个尖锐的峰值，但并不是在表面上。当粒子在共振频率下，其极点在复平面上有较小的虚数分量时，内部的场强最强。

1. 引言

自从洛伦兹-米理论发展以来，电介质球体的散射特性一直是无数调查研究的主题¹，然而仍有许多有趣的现象目前正在研究中。²

这种散射对波长的依赖及其光谱特性（以下简称共振谱）是十分有趣的，因为这种尖锐的共振随着尺度参数的变化而出现。用标准的洛伦兹-米散射算法可以很容易地计算球体的共振谱。^3,4计算结果^5-8显示存在一个包含极窄峰值的复杂共振结构。可以通过改变单色光源的波长来检测共振辐射⁹，或者使用宽带激励源，通过频率分析散射辐射来测量共振谱。^10,11

共振峰的波长位置是球体大小和折射率的敏感函数。已测得的光谱已被用于精确测定球体^9,10和圆形纤维的大小。^12,13虽然最初的特性描述工作是有希望的，但在这一点上，它必须建立在一个特别的程序基础上：调整理论模型的相关参数，直到达到测量数据的合理拟合为止。这个过程需要很大的计算量。

本文介绍的工作是出于需要制定一个有效且精确的反演算法，可以通过测量光谱推断单个球体的大小和折射率，或者是一个球体分散系统的粒径分布和折射率。然而，在进行这项工作之前，更加完整地了解电介质球体的共振特性是十分必要的。这项研究的结果是本文的主题。

1. 共振谱

散射效率，是一个半径为a的球体从入射平面波中获取功率并将其作为散射功率重新定向的能力的量度¹，计算公式为：

尺度参数,是周围介质中的波长。膨胀系数和的计算公式¹是：

其中m是相对折射率，和分别是球面Bessel函数和二阶Hankel函数。

计算所得的散射效率作为粒子尺度参数的函数，展示在图一当中，其中电介质球体的折射率为1.4。众所周知有一下特性：

（1）当粒子尺度参数从瑞利散射的极限（）开始增长时，Q值有一个初始的急剧增加。

（2）当尺度参数继续增大，Q值将达到几何光学的极限2.0。

（3）整个频谱包括在缓慢变化的背景上叠加的快速振荡。

快速振荡的详细情况可以在图二中看到，图二是图一的部分放大视图。在这里，我们可以看到图一中快速振荡的进一步精细结构。图二中的峰值（包括窄的和宽的）是公式（2）（3）对应计算的系数和共振的体现。图二就被称为是共振谱。

即使当尺度参数和折射率是实数，散射系数在一般情况下也都是复数；在共振处，某个特定系数的实部接近1，虚部接近0，然而公式（1）中的其它剩余项则要小得多。因此，共振谱中某个特定的峰是单个散射系数值作用的结果。此外，一个特定的系数对于多个不同的尺度参数，也会体现出这样急剧的增加。

按照早前制定的约定，⁶图二中的峰值将根据与共振相关的系数来标记。标注n和l表示第n个模式的l阶共振。例如，表示系数的随着x从0开始增大的第一个峰值。共振谱中的峰值的最主要的特性就是，对于给定的l，随着n的增大，峰的宽度减小；对于给定的n，随着l的增大，峰的宽度也增大。此外，随着m的增大，共振的位置将向更小的x偏移，宽度也会变小。对于大于50的n，的共振会变得格外窄，利用高分辨率光谱仪几乎不可见。它们的存在可以通过计算随着x从0开始增大，或的虚部的0点来数值上进行预测⁶。

图一 电介质球散射效率随尺度参数变化图

图二 图一的放大。n和l下标分别表示共振的模式和阶数

散射系数和中的任一个都可以和球体电磁振动的结构模式相关联。物理上，这些只能被实频激励，因此尺度参数x被限制为实数。然而，我们可以通过允许x为复数，来进一步了解这些结构模式。

球体的自然共振或是极点发生在系数和的分母为0的时候。这些即使是对无损的球体也是复数的极点，发生在复数尺度参数x离散的时候。

在微波谐振腔的研究中，研究了系数的极点。^14,15这个应用的主要兴趣是在折射率高、损耗小的球体中。在目前的工作中，感兴趣的主要是更适合光学应用的较低折射率的情况。

在第三节中详细讨论了两种数值算法用于确定极点位置：迭代零点查找程序和零计数程序。零计数程序验证了给定区域内的所有极点都被找到，而且它们是一阶的极点。整个过程是通过计算一个理想的导体球的处于下，由实部从0到10和虚部从0到7定义的复平面区域中的的极点所检测的。相关结果展示在图三当中，和先前研究中得到的结果相同。¹⁶

在折射率为1.4的介质球中，和的极点展示在图四当中，在实部从0到50和虚部从0到10所定义的复平面下，出现在n取值10，20，30，40的时候。这些极点在实轴上的投影给出了在共振谱中观察到的峰的位置，正如在图二中所展示的。的虚部与光谱宽度或者观察到的共振峰的有关。对应极点具有最小的虚部分量的共振峰的值是最大的，光谱宽度也是最窄的。

我们注意到（如图四（b）所示），对于给定的系数，比如，随着实部的增大，最接近实轴的极点后面所跟随的极点具有较大的虚部分量，也就是说，随后的峰值将变得更宽，并且值会减小。此外，随着的增大，最接近实轴的峰值将更接近实轴，产生更窄或者是更大的峰值。这些影响早前在共振谱中就被发现了¹³，但是极点图清楚地将这种行为和极点的虚部分量联系了起来。

图三 一个标准球体的极点分布，

在共振峰消失之前，极点的虚部分量宾部需要很大。当虚部分量大于大约0.2时，就会导致共振峰的宽度过宽，以至于无法观察到。比如说，图四中所有在之前的峰对应的系数的虚部都很大。然而，这些极点虽然显然是数学解的一部分，但由于实频激励，对散射的影响较小。

为了直接比较复极点与共振谱的分布，我们计算了图二中共振谱的极点，这些极点的虚部在0.0001到0.5之间，结果展示在图五中。具有最小的虚部分量的四个极点主要对应了图二中的狭窄峰值。虚部分量在0.1左右的三个极点对应了图二中稍微宽一些的几个峰值，而虚部分量在大约0.2到0.5之间的四个极点，尽管他们对于整体的背景有一定的贡献，但是在共振谱中是无法直接观察到的。

共振谱和极点之间的联系可以用一种直截了当的方式来解释。了解一个特定系数的所有复零点和极点的位置足以指定该系数。公式（4）将系数表示为无穷大的两个多项式的有理表达式：

分子的复数根是系数的零点，分母的复数根是极点。尺度参数被认为是一个实变量。类似像公式（4）这样的表达式被称为派的展开式¹⁷。公式（4）以极坐标的形式可以表达为

注意在公式（5）中，当的值接近靠近实轴的极点，分母会变得很小，但是有限。此外，如果我们假设其它的极点相对远离，那么从到其他极点和零点的角度将随着的改变而基本不变。另一方面，靠近的极点的角度贡献将会随着的变化而迅速改变，并且当比极点的实部分量大时，将会发生符号的改变。因此，我们希望看到当变得比极点的实部分量大时，系数的虚部分量将会发生符号的改变。这些内容仅对于非常接近实轴的极点有效。

图四 （a）电介质球的极点分布，（黑色实心圆），20（加号），30（星号），40（空心圆）。（b）相应的系数。

图五 图二中尺度参数范围内的极点

1. 数值方法

确定极点的位置涉及到具有大复变元的任意阶球面贝塞尔函数的计算。我们使用标注的向后递归方法来计算贝塞尔函数。¹⁸通过这种方法，选择一个合适的，比所需函数的最高阶更大的作为起始值，对一些起始值进行初步猜测，和，并且计算和等，上述过程利用的递推公式：

在公式（6）足够的迭代之后，函数将会和球面贝塞尔函数相关，。常数可以通过得到。对于，函数随着单调递增。除去比例因子之外，和的相对误差将会随着公式（6）的迭代越来越小，直到达到机器精度为止。的初始值选取的足够大，在程序经过足够的迭代之后获得的贝塞尔函数的阶数满足需求，以保证在随后的计算当中保持机器精度。

在文献中引用了许多不同的方法来确定获得期望精度所需的初始递归数。^19,20在参考文献19中展示了起始整数和因子、所需要的阶数、所需要的精度有关，

计算上，公式（7）可以通过不断增加的实验值直到满足不等式为止。

验证这种实际参数计算的方法有很多。两种常用的是使用交叉乘积：

其中代表第二类球面贝塞尔函数，或者对级数进行求和

对于较大的复杂的参数，球面贝塞尔函数可以变得相当大。因此，公式（8）和公式（9）涉及取大数之差，这是一个舍入误差的过程。在公式（8）中，这些差异显现明显，而在公式（9）中，它们在计算大的复数的平方时是隐式的。

即使测试可能失败，但贝塞尔函数本身的计算例程仍有可能保持其准确性。因此，我们寻求了一个独立的方法来检验我们的数值例程对于较大复参数的有效性，这不会受到公式（8）和公式（9）所固有的困难。

我们选择的方法是使用符号代数编程语言REDUCE²¹来使级数展开从而计算球面贝塞尔函数。通过使用传统的有限精度数值过程来总结对于大的复杂参数是不稳定的，但是REDUCE通过允许数字具有任意精度避免了这个问题。

在REDUCE中表示数字的位数是不固定的，会随着操作进行调整，以保持完整的精度，从而避免在传统固定精度数值技术中的舍入误差。用于表示数字的数字总数仅受正在使用的计算机的可用内存的限制。虽然REDUCE可以用传统浮点格式表示数字，我们使用了更精确的方法，其中一个数表示为一个由有限数目的数字组成的整数，或者作为两个整数的比值。

尽管使用REDUCE是缓慢而且昂贵的，通过使用它来选择几个参数，我们能够验证在随后的零点发现计算中使用的更快的向下递归例程的准确性。一些数值结果展示在表1当中希望它们对其他研究者有用。

我们使用的复零点查找程序是一个叫做ZANLYT的程序，可以在国际数学和统计库中找到。ZANLYT利用解析函数的独特属性快速定位零点。通过找到一个二次曲线更接近的根，得到一个特定的根的连续迭代，该曲线通过该函数的最后三个点。二次方程，一般具有复系数和复根。该解是通过标准二次方程的变化得到的，尽管ZANLYT中所采用的方法是复杂的，但不需要对导数进行评估。还采用零计数程序来保证ZANLYT在指定的复平面区域中找到所有极点。后面算法的完整描述包含在参考文献22中。

表一 选择复变元的第一类球面贝塞尔函数

1. 内场分布

在共振谱中观察到的现象也应该表现在球体内部的场分布中。这种球面角平均的强度由下式给出

系数和的定义为：

其中。这些系数的定义分别和Stratton的和一致。请注意，公式（11）和（12）中的分母分别和对应公式（2）和公式（3）中的是相同的。

（10）式中的是球面中心的径向距离。当我们把从0变化到（球体半径），我们可以得到角度积分强度的径向分布。和和的情况类似的，和在某些参数的值上呈现出峰值，从而影响内场分布。

我们首先通过和瑞利的已知结果进行比较，从而提供了对内部场计算的部分检查。然后计算角积分的内部场作为归一化径向距离的函数，其尺度参数等于图五中四个极点的实部。图六给出了假设每米一伏特的入射场的计算结果。在每个例子当中，在靠近表面的地方都会有一个尖锐的峰值。随着相关极点的虚部分量减小，峰值的最大值增大。这种现象再一次证明了球体在共振时有捕获能量的能力。

至于散射能量，表面附近内部场强度的峰值是在内部场膨胀中单个系数峰值的结果。当球体被激发远离共振，或者当尺度参数等于具有较大虚部的极点的实部时，总的积分内部场强度至少比共振所观察到的强度小一个数量级，径向分布没有明显的峰值。

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