基于条件分布的设计洪水过程线：以汉江丹江口水库为例外文翻译资料

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基于条件分布的设计洪水过程线：以汉江丹江口水库为例

ChangjiangXu, JiaboYin, ShenglianGuo, ZhangjunLiu, XingjunHong

水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉大学，湖北武汉，中国

水文局、长江水利委员会，武汉430010，中国

设计洪水过程线（DFH）一坝洪水合适的可能性和程度采用适当的设计标准与大坝安全。峰值排放和洪水体积的估计分位数对于导出DFH是必要的，它们是相互相关的并且需要通过多变量分解方法来描述。使用Copula函数建立峰值排放和洪水体积的联合概率分布。然后，推导考虑洪峰和体积之间固有关系的条件最可能组分（CMLC）和条件期望组分（CEC）方法的通用公式 DFH。选择汉江盆地丹江口水库作为案例研究。通过提出的方法估算洪水量和90％置信区间与不同峰值放电的设计值。CMLC和CEC方法的性能也与常规洪水频率分析进行比较，结果表明，CMLC方法对于具有最小相对误差和均方根误差的二变量和三变量分布执行得最好。所提出的CMLC方法具有强大的统计基础和独特的设计洪水合成方案，并提供了一种推导DFH的替代方法。

1、引言

水库大坝以设计洪水过程线（DFH）来设计，其按设计标准采用以保证结构的安全性。设计洪水水位线通常是指可以从降水或流量记录估计的坝址处的计算洪水水位图，根据工程判断后的所有相关数据的考虑，包括流量数据和降雨数据的范围和可靠性。DFH的特点是几个相关随机变量的联合行为，如洪水峰，体积和持续时间。仅仅知道洪水峰值或体积不足以设计大坝溢洪道; 必须利用整个洪水过程线。对应于特定设计返回周期的洪水峰值和体积的分位数对于导出DFH是必要的。但是，常规洪水频率分析许多国家推荐的推导DFH的方法是基于单变量分布，主要集中在年度峰值流量或洪水量系列的分析，而没有分析洪峰和体积之间的固有关系。[2]例如，用于推导DFH的中国单变量洪泛频率分析方法隐含地假设洪水峰值和洪水量是独立的并且以相同的频率放大，这在实践中具有缺点。[3,4] 由于相关水文变量之间不清楚的关系，单变量频率分析方法会产生风险的过度估计。[5,6]

为了解决这个问题，许多作者使用统计方法来通过检查洪水峰，洪水体积和其形状的依赖性来推导DFH。Xiao等[2]人提出了一种基于MSI分位数的多特征综合指数法，并推导出DFH。Pramanik等[7]使用概率密度函数拟合水文图的形状，随后开发设计洪水水位图的各种回报期。Mediero等[8]通过在观察到的对上拟合区域对数回归方程来估计给定峰值排放的洪水量，并且进行蒙特卡罗实验以产生保持峰的边缘分布的统计特性的DHF的集合， 体积和持续时间。Serinaldi和Grimaldi [9]研究了使用具有有限支持（即beta;和广义标准双边功率分布）的简单分布函数来表示和合成直接径流水文图的优点和缺点。在他们的研究中，通过递归数字滤波算法和超阈值方法选择的几个泛洪事件中探究洪峰流量，体积和持续时间之间的依赖性。Dominguez和Arganis [10]介绍并使用IINGEN方法估计Malpaso大坝的设计洪水，该方法可以同时考虑洪水峰值，体积和形状。acute;Oscaretal [10]提出了一种方法，使用光谱分析方法选择DFH的时基，并定义考虑水文洪水的完整动力学所需的天数。

最近，Copula函数已越来越多地应用于探索泛洪峰和体积之间的固有相关性，用于推导DFH。Copula函数允许在边缘分布和峰和体积之间的依赖性方面具有更大的灵活性。Chowdhary等人。 [12]讨论了用于洪峰和洪水体积数据的双变量频率分析的适当的Copula的识别，并且发现阿基米德族的Gumbel-Hougaard copula是洪峰和体积的最合适的依赖模型。Bacova和Halmova [13]探讨了峰值排放和体积发生的联合概率的分析和统计评价;他们还计算了水文对的联合重现期和条件重现期。已经对估计多变量分位数（例如[5,6]）和Copula函数的选择（例如，[12,14]）所需的峰和体积之间的依赖程度进行了大量研究。Gaal等人[15] 研究了奥地利地区的峰值 - 体积关系，该地区具有不同范围的水文洪水过程，并讨论了洪水峰值 - 体积关系是否可以通过比较水文学代表。Sraj等人[16]比较了来自三个族群的不同双变量Copula，并分析了萨瓦河利蒂亚站的双变量洪泛频率分析。先前的研究[12-16]导出了一个联合回归期间的多元分位数曲线，可以选择等值线或等值面上的无穷组合来评估不同水文荷载对结构的影响[17]。然而，必须从事件中选择一个分位数组合，所有事件都具有相同的返回期用于推导DFH [14]。如何解决这个问题已经吸引了许多研究者的注意（例如，[6,14]）。Li等人。 [6]提出了一种Copula相同频率法，并用它来估计三峡水库的双变量联合洪泛分位数。Grobler等人[14]给出了一个关键和实用的审查，侧重于合成设计水文图估计。他们的方法是基于回归分析，双变量条件分布，双变量联合分布和肯德尔分布函数，突出了多变量频率分析的理论和实践问题。Chebana和Ouarda [18]提出将水平曲线分解成一个零件（尾）和适当的零件（中心）。 他们假定天真部分由从适当部分的每个末端的末端开始的两个段组成。Salvadorietal等人[ 19 ]简要介绍了两种基本的设计实现，即分支多余的设计实现和最有可能的设计实现。Volpi和Fiori [20]根据其发生概率确定了关键组合集的子集，包括一个固定的百分比和任意选择的事件的概率。

在用于推导DFH的多变量域中，回报期必须在这个水库的可接受风险的定义。不同重现期的Copula函数的估计已被开发为一个多元的洪水频率分析的案例。Yue和Rasmussen [21]和Shiau [22]提出了八种类型的可能的联合事件，其中OR，AND，条件案例在水文应用中最受关注。最近，Salvadori和De Michele [23]给出了多变量回报期的另一个定义，称为Kendall回报期。引入这个返回期以在多元上下文中识别单变量临界阈值。到目前为止，只有非常有限的研究实际应用了这种回归期（例如，[24]）。Volpi和Fiori [25]提出了一个基于结构的一般回归期，用于双变量环境中水文结构的设计和风险评估。他们的工作吸引了从业者注意考虑在多变量环境中的水力设计和/或风险评估问题的结构的重要性，因此建议反对不加限制地使用基于设计事件的方法，其忽略结构和水文负载之间的相互作用。关于回报期的更多信息可以在Shiau [22]和Volpi和Fiori [25]中找到。现在，对回报期使用的清晰评估仍然是一个争论的问题[26,27]。

在本文中，我们广泛研究汉江盆地丹江口水库的Copula函数的峰-容关系。 具体来说，我们在其发生概率的基础上调查固有关系。应用和比较了来自阿基米德族的不同Copula函数。 然后，提出条件最可能组合（CMLC）和条件期望组合（CEC）方法，灵感来自Graler [14]和Salvadori等人的想法[19]。本研究的主要目的是提供一个简单的工具，用于识别洪水峰值和体积之间的关系，并得出DFH。

为了实现这些目标，本文的组织结构如下：第二部分介绍了推导DFH的中文方法。第三部分介绍了本研究中使用的方法。第四部分显示了案例研究的结果和讨论 ，其次是结论。

2. 中国衍生DFH的方法

Pearson III型（P3）分布由中国水利部推荐用于推导DFH [2,3]。对于给定的样本系列，概率{? : ? lt; ? lt; infin;},P3分布的密度函数（PDF）表示为

。（1）

其中，alpha;、beta;和gamma;分别是形状，尺度和位置参数，Gamma;（）是伽马函数。

Te L-moment（LM）方法对于参数估计是优选的，因为其在通常小或大的值（离群值）的存在下的鲁棒性质[28,29]。单变量流动频率分析模型（P3 / LM），即P3分布和L力矩方法，用于估计给定返回期的流动分位数。

峰值和体积振幅（PVA）方法隐含地假设，峰值和流量体积以相同的频率（返回周期）放大。例如，峰值排放和流量体积的值由在给定返回周期下的每个边际分布单独估计。通过将典型流变水位图（TFH）的每个放电纵坐标乘以放大器来构造DFH。

Te放大器是具有给定返回期的设计峰与TFH峰的比率或具有给定返回期的设计体积与TFH体积的比率. 假设年最大流量水文图的特征包括流量峰值Qmax，1天最大流量W1d，3天最大流量W3d，7天最大流量W7d和15天最大流量W15d，设计返回周期T由P3 / LM估计并分别由QmaxT,W1T,W3T,W7T和W15T表示。所选择的TFH的相应特征分别由QTFH,W1TFH,W3TFH,W7TFH和W15TFH表示，这些放大器计算如下。

用于峰值放电的放大器Kp如下:，（2）

1天最大流量（不包括峰值）的放大器K1如下: ，（3）

用于3天最大流量体积的放大器K3-1除了1天最大流量体积之外如下: ，（4）

用于7天最大流量体积的放大器K7-3除了3天最大流量体积之外如下：，（5）

除了7天最大流量体积之外，用于15天最大流量体积的放大器K15-7如下：，（6）

在构造的DFH的两个相邻段之间的分割部分不是连续的，并且应当在工程实践中通过手动光滑处理来修改[2,3]。

3. 基于Copula函数的DFH的推导

3.1基于Copula函数的联合分布。

Copula函数是描述和建模随机变量之间的依赖结构的函数，与所涉及的边际分布无关（例如[26,28,30]）。令???(??) (? = 1,2,...,?)是Xi的累积分布函数（CDF）。Te目标是确定多变量分布，表示为??1,?2,...,??(?1,? 2,...,??)或简单的H，多变量概率分布H以其边缘和相关的依赖函数表示为Sklar定理:

，（7）

其中称为Copula函数的C在???(??)连续时唯一确定，并且捕获随机变量之间的依赖的本质特征。

3.2条件最可能组合（CMLC）方法

P3分布被选择为峰值放电（Q）和流动体积s(? ? (? = 1,2,...,?))的边缘分布，其被表示为s??(?),???(??).十个对应的密度函数表示为??(?)和???(??)，其中n表示估计DFH所需的流量。对于给定的设计标准（返回周期），有必要确定流动分位数的适当组合，因为不同的组合将导致不同的DFH [18,20]。如何选择合适的组合（即流动分位数组成方法）在实践中是极其重要的。用于推导DFH的常规单变量水文频率分析方法隐含地假定，洪水峰值和体积是独立的，并且以相同的频率放大，这不能探究水文变量的固有相关性。在给定的峰值放电下，组合在其出现概率方面有所不同。

基于Copula函数，联合分布函数?(?,?1,?2,...,??)可以表示为[30]:

?(?,?1,? 2,...,? ?) =?(?,V1,V2,...,V?)，（8）

其中?(?,V1,V2,...,V?)是Copula函数; ?=??(?), V? = ???(??), ? = 1,2,...,?,分别是峰值排放和流量的边际分布.

对应条件概率分布为

，（9）

条件概率分布的密度函数为（10）

其中?(?,V1,V2,...,V?minus;1,V?)=?^{n 1}?(?,V1,V2,...,V?minus;1,V?)/???V1?V2,...,?V?minus;1?V?是Copula的密度函数.

最大化?_{??|?,? 1,?2,...,??minus;1}(??); (?,?₁,?₂,...,?_?minus;1,?_?)的对应值是条件最可能的组合（CMLC）。

?_{??|?,? 1,? 2,...,??minus;1}(?_?)是一个单一的函数;其对??的推导由

，（11）

其中?1 = ??/? V?, ?(? minus; 1) = ?(?,V1,V2,...,V?minus;1), ?(?) = ?(?,V1,V2,...,V?), 是?_??(??)的导数函数。最大化?_{??|?,? 1,? 2,...,??minus;1}(?_?)，应该满足下面的公式：

，（12）

如果??是作为（1）的P3分布，则应满足以下等式：

，（13）

其中，alpha;，beta;和gamma;分别是边缘分布函数???(??)的形状，尺度和位置参数。

将（13）代入（12）并简化如下：

等式（14）是CMLC方法的通式。如果峰值放电和流动体积是独立的，则?1的值为0，?(?)的值为1.将c1和c(n)的值代入（14），可以简化如下：?_? = (? minus; 1)/? ?。然而，独立假设在实践中只是一种特殊情况。

Te CMLC方法是通过使用条件密度函数来测量流动事件的发生可能性来描述流动峰值和体积的组成的方法。它是条件分布?_{??|?,? 1,? 2,...,??minus;1}(??)的模式。基于最大化条件联合概率密度函数的原理，（14）可以通过数值计算方法来解决，例如调和平均牛顿法[31]。

3.3条件期望成分（CEC

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