Liebau型微分方程的周期解外文翻译资料

英语原文共 7 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

Liebau型微分方程的周期解

廖芳芳

数学系，上海师范大学，上海200234，中国

数学系，东南大学，南京211189，中国

摘要 我们研究与Liebau现象有关的二阶微分方程的正周期解的存在。证明是基于锥上的不动点理论。我们的结果改进和推广了文献中的结论。

关键字 周期解 Liebau型微分方程 锥上的不动点理论

1.引言

在文献[1]中，Propst提出模拟定期通过不同的管状贮水器装置的强制流的微分方程。这种微分方程与Liebau现象有关，Liebau现象是物理学家Liebau [2]在20世纪50年代处理血液循环中的无阀泵现象的实验时所观察到的，并在[3]中进行了数值研究。实际上，从数学的角度，Propst提出下面这个有趣的微分方程：

(1.1)

其中为常数，且。由于周期受力的影响，在合适的条件下寻求方程（1.1）的T周期解是很自然的。尽管方程（1.1）是奇异的，但它可以通过变量替换转化成正常的方程。事实上，取,方程（1.1）与下面这个方程等价

, (1.2)

在最近的文献（[4,5]）中，下面这个方程被广泛研究

, (1.3)

其中,且。应用定点定理和线性方程的格林函数分析，方程（1.3）的正T周期解的存在性是可知的。事实上，作为应用，当e是非负数在[4]中给出了方程（1.1）的解的明确存在条件，而e符号变化的情况在文献[5]中。

这个论文的目的是研究以下广义Liebau型微分方程的T周期解的存在性：

(1.4)

其中为非负函数。实际上，函数f在=0处奇异就意味着对于。从Laser和Solimini [7]的论文开始，奇异微分方程的周期解的存在已经在文献中广泛研究，如文献[8-13]。

研究（1.4）是有意义的，原因如下：首先，它可以被认为是微分方程（1.3）的延伸，这与Liebau现象有关。 其次，我们可以通过假设f在原点处的奇异性来处理常规情况和奇异情况。 第三，我们处理阻尼项而不是，这可以涵盖更广泛的情况.

2.准备工作

我们说线性系统

(2.1)

是非共振的，如果它具有小的T周期解。当(2.1)为非共振时，非齐次系统

有一个T周期特解

,

其中是其格林函数。在这篇论文中，我们假定

（A）.(2.1)中的格林函数对于所有为正.

一般情况下，难以验证条件（A）成立。 然而，基于Hakl和Torres在[14]中建立的反最大原则，在[10]中证明了一个标准。为了描述它，我们定义

和

.

定理2.1 （[10]，引理2.6）假设且满足下列两个不等式

和

则（A）成立.

当（A）成立时，我们定义

. (2.2)

因此有Bgt;Agt;0且0lt;lt;1。此外，也成立.

主要结果的证明是基于接下来的锥上的不动点理论.

定理2.2 （[15]）为一Banach空间，。假设都是内的开子集，且有。令

为以连续且绝对连续的算符使得

(i)，对于；

(ii)存在 使得.

或者

(i)，对于；

(ii) 存在 使得.

则内有定点.

在这篇论文中，我们使用如下标注。，且具有上确界范数。对于内一个给定函数，令

.

3.主要结果

定理3.1 假设存在正值函数使得条件A成立且有两个常数，使得

(3.1)

则方程（1.4）至少有一个正的T周期解如果对于以下两种情况有一个成立.

1. ,,

证：该证明基于定理2.2。我们定义

,

其中在（2.2）中给出。是一个锥体.

现在我们将方程（1.4）重新写成下面这个等式：

(3.2)

很容易证明（3.2）的一个T周期解是算符方程的一个固定点,其中算符定义为

现在我们定义开集

.

由条件（3.1），易证将映射到。此外，因为是连续的，我们得到是连续且完全连续的.

首先，我们假设条件（i）成立.

令psi;我们证明

(3.3)

反之，存在使得.

因为，则=令则

=

=，

即,矛盾。因此，（3.3）成立.

接下来我们证明

,. (3.4)

事实上，对于任一，我们有

.

因此，,即(3.4)成立.

接下来，由定理2.2和（3.3）—（3.4），有一定点显然，定点是满足的方程（1.4）的正T周期解.

如果条件（II）成立，应用上面类似的方法，我们可以得到

,.

和

.

因此，由定理（2.2）有一定点.

例3.2考虑微分方程

(3.5)

其中，且为正值函数。则（3.5）有至少一个正的T周期解如果存在一个正值函数使得条件（A）成立且如下不等式也成立

(3.6).

证：,, 则有.因为，易证

和

此外，当条件（3.6）成立，我们得到

.

结果由（3.1）得证.

下面这个结果处理奇异的情况.

定理3.3 假设且存在一个正值函数使得条件（A）成立。进一步假设存在一个常数使得

(3.7)

和

,.

则方程（1.4）至少有一个正的T周期解.

证：因为，我们取,，对于所有t，有

,.

则结果由定理3.1得证.

例3.4考虑如下奇异微分方程

(3.8)

其中为正常值且.此外，假设使得线性方程（2.1）满足条件A且是正的.那么方程（3.8）至少有一个正的T周期解对于e满足

1. ;
2. 且

(3.9)

证：令

因为在区域内奇异，故（i）是定理3.3的直接结果，接下来我们证明结果（ii）.

定理3.3的存在条件被降低到找到gt;0，使得

, (3.10)

. (3.11)

现在，我们固定

则不等式（3.10）成立。由的单调性，（3.9）成立则（3.11）成立.

注3.5 假设在例3.4中，为正常量。如果 条件（A）成立.

此外，在这种情况下，。现在条件（3.9）变为

.

结果在文献[8]和[11]中呈现.

参考文献

[1] G. Propst, Pumping effects in models of periodically forced flow configurations, Physica D 217 (2006) 193–201.

[2] G. Liebau, uml;uber ein ventilloses Pumpprinzip, Naturwissenschaften 41 (1954) 327.

[3] A. Borzi, G. Propst, Numerical investigation of the Liebau phenomenon, Z. Angew. Math. Phys. 54 (2003) 1050–1072.

[4] J.A. Cid, G. Infante, M. Tvrdy, M. Zima, A topological approach to periodic oscillations related to the Liebau phenomenon,J. Math. Anal. Appl. 423 (2015) 1546–1556.

[5] J.A. Cid, G. Infante, M. Tvrdy, M. Zima, New results for the Liebau phenomenon via fixed point index, Nonlinear Anal.RWA 35 (2017) 457–469.

[6] J.A. Cid, G. Propst, M. Tvrdy, On the pumping effect in a pipe/tank flow configuration with friction, Physica D 273–274(2014) 28–33.

[7] A.C. Lazer, S. Solimini, On periodic solutions of nonlinear differential equations with singularities, Proc. Amer. Math.Soc. 99 (1987) 109–114.

[8] J. Chu, X. Lin, D. Jiang, D. Orsquo;Regan, R.P. Agarwal, Multiplicity of positive periodic solutions to second order differential equations, Bull. Aust. Math. Soc. 73 (2006) 175–182.

[9] J. Chu, P.J. Torres, M. Zhang, Periodic solutions of second order non-autonomous singular dynamical systems, J.Differential Equations 239 (2007) 196–212.

[10] J. Chu, N. Fan, P.J. Torres, Periodic solutions for second order singular damped differential equations, J. Math. Anal.Appl. 388 (2012) 665–675.

[11] D. Franco, J.R.L. Webb, Collisionless orbits of singular and nonsingular dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst.15 (2006) 747–757.

[12] I. Rachunkovacute;a, M. Tvrdacute;y, I. Vrko˘c, Existence of nonnegative and nonpositive solutions for second order periodic boundary value problems, J. Differential Equations 176 (2001) 445–469.

[13] P.J. Torres, Existence of one-signed periodic solutions of some second-order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem, J. Differential Equations 190 (2003) 643 662.

[14] R. Hakl, P.J. Torres, Maximum and antimaximum principles for a second order differential operator with variable coefficients of indefinite sign, Appl. Math. Comput. 217 (2011) 7599–7611.

[15] K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1985.

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

---

资料编号：[28309]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word