Fibonacci矩阵的Moore-Penrose广义逆及其应用外文翻译资料

Fibonacci矩阵的Moore-Penrose广义逆及其应用

原文作者： Shou-Qiang Shenaand Jun-Jie Heb

单位：Huarui College, Xinyang Normal University,

摘要：让s为任意整数，引入s型矩阵的概念，其非零项是经典的Horadam数字。在本文中，我们考虑单数然后Moore-Penrose逆矩阵的。在的情况下,我们得到了广义斐波那契矩阵的伪逆。此外，还讨论了矩阵和广义帕斯卡矩阵之间的相关关系，并导出了一些包含了Horadam数字的组合恒等式。

关键词：Moore-Penrose广义逆； Horadam数量；广义斐波那契矩阵；广义帕斯卡矩阵

1.介绍和预备

）为复矩阵的集合，对于每个，矩阵A的Moore-Penrose逆是唯一的矩阵，其中四个特性：

A A=A A=, ,

其中表示A的共轭转置

Moore-Penrose逆，也称为伪逆，有些学者已经给出了计算Moore-Penrose逆矩阵的几种方法[2,3]。 例如，最常用的方法是MacDuffee的算法。 也就是说，对于满足秩（A）= rgt; 0的每个矩阵，如果A具有满秩分解，则A的Moore-Penrose逆由以下公式给出：

=

不幸的是，随着矩阵的增加，这些方法的计算复杂度非常惊人。 对于，斐波纳契数列{由定义，其中 = 0且 = 1。然后，遵循相同递归模式的卢卡斯序列{}作为斐波纳契数列，但以和开始.

近年来，人们对一些涉及斐波纳契数或卢卡斯数的特殊矩阵的研究倍受关注。 Akbulak和Bozkurt [1]已经找到了Toeplitz矩阵的谱范数的下界和上界Solak [9,10]定义和为循环矩阵，其中和，那么他给出了有关和矩阵的一些界与谱和欧几里德准则。 Shen和Cen [7]为r循环矩阵和B = 的谱范数建立了上界和下界。然后得到了这些矩阵的Hadamard和Kronecker乘积的谱范数的一些界限。此外，李等人 [4,5]给出了Fibonacci矩阵的逆和Cholesky因式分解：

那么他们也研究了帕斯卡矩阵和斐波纳契矩阵之间的关系。 如斐波那契矩阵的类比，阶数的卢卡斯矩阵由[12]定义

作者研究了矩阵Ln的逆矩阵和卢卡斯之间的关系矩阵和广义帕斯卡矩阵。 沉等人[8]已经给出了计算可行性循环矩阵和的行列式和逆的公式。

作为Fibonacci矩阵和Lucas矩阵的推广，矩阵 (i,j=1,2)，其定义见^[11]：

其中是第n个经典Horadam数，它满足以下条件：

当A = B = 1时，矩阵简化为s型广义Fibonacci矩阵，则矩阵和a之间的相关性，以及矩阵U_n ^并考虑了第一种和第二种广义帕斯卡矩阵。此外，Miladinovic和Stanimirovic [6]给出了奇异广义Fibonacci矩阵的Moore-Penrose逆的一个明确公式。本文的目的是通过数的一些理想性质，得到矩阵的Moore-Penrose逆的更好结果，然后推广所有结果。

在整篇论文中，我们采用以下两个约定 = 1，并且对于任何序列，在情况时

本文的主要内容安排如下：在第2节中，我们计算了矩阵的Moore-Penrose逆，它只与Horadam数有关）

在局部情况1时，得到广义斐波那契矩阵的伪逆。在第3节中，矩阵与广义帕斯卡之间的各种相关性

考虑第一种和第二种矩阵，得到矩阵的相应结果作为推论。这些结果的一些应用在第4节中给出，一些涉及Horadam数和二项式系数的组合身份是成立。

现在我们给我们一些有关我们学习的预备。对于Horadam序列{U_n ^（（a，b，））}，它满足Binet斐波那契数公式[11]的以下推广：

其中：

引理1.1对于Horadam序列，满足

1. 如果 , 则 b = a,
2. 如果 , 则 b = a,

证明：

（i）由于，则使用同一性，我们有，而，因此

所以我们得到

通过应用标识 = A和，我们有了

使用方程（4），我们得到

同样，我们可以验证（ii）。 因此，证明已完成

2.矩阵的Moore-Penrose逆

在本节中，我们计算奇异矩阵的Moore-Penrose逆。 在这种情况下，，我们得到了关于[6]中广义Fibonacci矩阵的伪逆的结果。

引理2.1对于满足的Horadam序列对于满足的两个任意整数 ，那么以下式子是有效的

证明对于或 ，显然B = 0，那么公式（7）是有效的。 在的情况下，让我们表示：

由于，那么通过应用等式（4）和简单变换，我们得到

从，，我们可以得到

使用等式（4），可以验证以下内容：

因此，证明已完成。

引理2.2 令矩阵其条目由：

那么以下成立：

其中是一个矩阵

证明设。 对于i lt;j，显然。 在i = j 1的情况下，

以下是有效的：

当,我们有

如果，则应用引理1.1的结果和alpha;beta; = minus;B, alpha; beta; = A,，得到

和

因此：

类似地，对于.，我们可以验证。如果f ，

使用引理2.1的结果，可以验证

对我们有

最后，很明显，证明完成。

引理2.3设为方程（8）定义的矩阵

其中Wn = [是一个ntimes;n矩阵

证明类似于引理2.2的证明

定理2.1设= [ ]为一个ntimes;n矩阵。 如果，那么矩阵

由等式（8）定义的d是矩阵)的Moore-Penrose逆

证明应用在引理2.2和2.3中得到的结果，我们有

由于且，因此以下两个等式是有效的：

因此，证明是从Moore-Penrose逆定义完成的

推论2.1假设为一个ntimes;n矩阵，等于

3. 矩阵和广义帕斯卡矩阵

在本节中，我们研究矩阵和广义帕斯卡矩阵之间的相关性。 为了这个目的，我们引入了s型广义帕斯卡矩阵的概念。 他推广了第一种类型s的Pascal矩阵，其定义见：

=

在x = 1的情况下，第一类的广义Pascal矩阵简化为Pascal矩阵

，i, j = 1, 2, . . . , n)并且定义为：

=

在下面的定理中，我们定义了一个ntimes;n矩阵，它给出了矩阵与广义帕斯卡 第一类矩阵

定理3.1设矩阵 ]=[] (x 0, aB bA 0),，其条目是被定义为：

=

那么以下是成立的：

x ]

证明：设。 对于i lt;j，显然。 在i = j 1的情况下，

以下是有效的：

当,我们有

如果，则应用引理2.1的结果和alpha;beta; = minus;B, alpha; beta; = A,，得到

和

因此：

类似地，对于.，我们可以验证。如果f ，

使用引理3.1的结果，可以验证

对我们有

最后，很明显，

证毕。

推论3.1矩阵[-bB/(aB bA)]= [并且定义为

x

在定理3.1的部分情况A = B = 1中，我们得到了-广义Fibonacci矩阵的结果：

=

满足

x ]

定理3.2设矩阵.定义：

=

以下是成立的

x ]

定理3.3设矩阵被定义为：

=

以下是成立的:

x ]

x ]

推论3.4矩阵定义为

满足：

x]

4. 一些组合的身份

在本节中，我们给出一些涉及Horadam数字和数字的组合身份二项式系数。

定理4.1令i，j为满足ige;j 3且aB bAne;0的正整数，则以下是有效的：

定理4.2如果i，j是满足ige;j 3且aB bAne;0的正整数，则我们有

定理4.3对于1le;rlt;n和aB bAne;0，则有

推论4.1对于1le;rlt;n和ane;-b，我们有

定理4.2如果i，j是满足ige;j 3且aB bAne;0的正整数，则我们有

定理4.3对于1le;rlt;n和aB bA 0，则有

推论4.1对于1le;rlt;n和a -b，我们有

5.泄露

作者报告没有潜在的利益冲突。

6.资金

这项工作得到了国家自然科学基金重点研究项目（批准号：61272465）的支持 河南省高级中学[批准号15A110040]。

7．结束语：

参考文献

[1] M. Akbulak and D. Bozkurt, On the norms of Toeplitz matrices involving Fibonacci and Lucas numbers, Hacet. J.

Math. Stat. 37 (2008), pp. 89–95.

[2] P. Courrieu, Fast computation of Moore-Penrose inverse matrices, Neural Inf. Process – Lett. Rev. 8 (2005),

pp. 25–29.

[3] A.B. Israel and T.N.E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications, 2nd ed., Springer, New York, 2003.

[4] G.-Y. Lee, J.-S. Kim, and S.-G. Lee, Factorizations and eigenvalues of Fibonacci and symmetric Fibonacci

matrices, Fibonacci Quart. 40 (2002), pp. 203–211.

[5] G.-Y. Lee, J.-S. Kim, and S.-H. Cho, Some combinatorial identities via Fibonacci numbers, Discret. Appl. Math.

130 (2003), pp. 527–534.

[6] M. Miladinoviacute;c and P. Stanimiroviacute;c, Singular case of generalized Fibonacci and Lucas matrices, J. Korean Math.

Soc. 48 (2011), pp. 33–48.

[7] S. Shen and J. Cen, On the bounds for the norms of r-circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers,

Appl. Math. Comput. 216 (2010), pp. 2891–2897.

[8] S.-Q. Shen, J.-M. Cen, and Y. Hao, On the determinants and inverses of circulant matrices with Fibonacci and

Lucas numbers, Appl. Math. Comput. 217 (2011), pp. 9790–9797.

[9] S. Solak, On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers, Appl. Math. Comput. 160

(2005), pp. 125–132.

[10] S. Solak, Erratum to lsquo;On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbersrsquo; [Appl. Math.

Comput. 160(2005), 125–132], Appl. Math. Comput. 190 (2007), pp. 1855–1856.

[11] P. Stanimiroviacute;c, J. Nikolov, and I. Stanimiroviacute;c, A generalization

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